Der logarithmische Rechenschieber und sein Gebrauch (3rd, enlarged edition)
ALBERT NESTELER A-G, LAHR (BADEN)
Der logarithmische
Rechenschieber
und sein Gebrauch
Dritte vermehrte und verbesserte Auflage
1942
Alle Rechte, auch das der Übersetzung in fremde Sprachen vorbehalten
Copyright
Albert Nestler AG
Vorwort
Der Zweck des Rechenschiebers ist es, schnell, und sicher alle Multiplikationen und Divisionen, das
Quadrieren und Quadratwurzelziehen, die Berechnung von Kubikzahlen und Kubikwurzeln zu bewältigen.
Ebenso leicht liefert er höhere Potenzen und Wurzeln, Logarithmen und trigonometrische Funktionen, sowie
reziproke Werte, kurz, er ersetzt eine umfangreiche Tafel. Dabei wird das lästige Blättern und Interpolieren
völlig vermieden, und wegen seiner handlichen Ausführung kann er leicht ins Bureau, auf die Baustelle und in
den Hörsaal mitgenommen werden.
Diesen Vorzügen verdankt er die große Verbreitung, welche er in Ingenieurkreisen gefunden hat. Aber
auch der Kaufmann, der Chemiker, der Holzhändler, der Elektrotechniker, der Student der Mathematik, der
Geometer, kurz jeder, der mit Rechnungen viel zu tun hat, kann ihn gebrauchen und wird ihn, wenn er einmal
mit ihm vertraut geworden ist, nie mehr aus der Hand lassen. Wenn auch die Grundgedanken unserer
Systeme sich gleichbleiben, so ist doch durch eine Reihe von Spezialkonstruktionen dafür gesorgt, daß jedem
Beruf gerade die Rechnungen, die für ihn besonders in Frage kommen, nach Möglichkeit erleichtert werden.
Die Genauigkeit des Rechenschiebers genügt stets den Erfordernissen der Praxis. Soll sie aus besonderen
Gründen, z. B. in der Mathematik oder Astronomie, gesteigert werden, so gibt es einfache Regeln, welche
dies bis zu jedem gewünschten Grade gestatten. Die betreffenden Paragraphen sind mit einem Sternchen
versehen, da sie bei einer ersten Einführung in den Gebrauch des Rechenschiebers überschlagen werden
können.
Vorwort1
I.
Kapitel Genauigkeit und Abschätzung der Zahlen.........................................................1
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§ 5.
§ 6.
§ 7.
§ 8.
§ 9.
Wertziffern. ............................................................................................................................ 1
Genauigkeit. Näherungswerte. ................................................................................................. 1
Die Behandlung der Brüche. .................................................................................................... 2
Kennziffer und Stellenzahl. ....................................................................................................... 2
Eine bequeme Schreibweise der Zahlen. .................................................................................. 2
Abschätzung........................................................................................................................... 3
Beispiele für Abschätzungen. ................................................................................................... 3
Wie erhält man größere Genauigkeit? ...................................................................................... 4
Die Notwendigkeit bequemer Rechenhilfsmittel.......................................................................... 4
II.
Kapitel Das Rechnen mit Logarithmen...........................................................................5
§ 10.
§ 11.
§ 12.
§ 13.
§ 14.
§ 15.
§ 16.
§ 17.
§ 18.
§ 19.
§ 20.
Das Aufsuchen des Logarithmus. ............................................................................................. 5
Multiplikation mit Logarithmen. ................................................................................................. 5
Division mit Logarithmen. ......................................................................................................... 5
Ergänzungslogarithmen. .......................................................................................................... 6
Division mit Ergänzungslogarithmen. ......................................................................................... 6
Multiplikation mit Ergänzungslogarithmen. ................................................................................. 7
Potenzieren mit Logarithmen.................................................................................................... 7
Beispiele zum vorigen Paragraphen. ......................................................................................... 7
Radizieren mit Logarithmen...................................................................................................... 7
Beispiele zum vorigen Paragraphen. ......................................................................................... 8
Vorteile und Nachteile dos Logarithmenrechnens. Der Rechenschieber. ...................................... 8
III. Kapitel Die Einrichtung des Rechenschiebers. ....................................................................10
§ 21.
§ 22.
§ 23.
§ 24.
§ 25.
§ 26.
§ 27.
§ 28.
§ 29.
Einiges aus der Geschichte des Rechenschiebers. .................................................................. 10
Die Bestandteile des Rechenschiebers. Die Rechenwalze. ....................................................... 10
Rechenschieber Nr. 14, System Rietz, System Darmstadt ....................................................... 10
Die Skalen des Schiebers Nr. 14............................................................................................ 10
Die Skalen des "System Rietz"............................................................................................... 11
Die Skalen des "System Darmstadt"....................................................................................... 12
Graphische Addition und Subtraktion. ..................................................................................... 13
Die Entstehung einer logarithmischen Skala. ........................................................................... 13
Die Intervalle der verschiedenen Skalen. Ablesen und Einstellen. .............................................. 14
IV. Kapitel Die Multiplikation.........................................................................................................15
§ 30.
§ 31.
§ 32.
§ 33.
§ 34.
§ 35.
§ 36.
§ 37.
§ 38.
§ 39.
§ 40.
§ 41.
§ 42.
§ 43.
Die Multiplikation durch graphische Addition der Logarithmen. .................................................. 15
Beispiele zum vorhergehenden Paragraphen. .......................................................................... 16
Der Rechenschieber als Multiplikationstabelle. Kreisumfänge. .................................................. 17
Beispiele zum vorigen Paragraphen. ....................................................................................... 18
Umrechnung von Münzen, Maßen und Gewichten. ................................................................... 19
Die Verschiebung der Zunge um eine Einheit. .......................................................................... 20
Wiederholte Multiplikation. ..................................................................................................... 21
Die Ermittelung der Stellenzahl ohne Abschätzung. (P-1).......................................................... 22
Hilfsmittel zur Steigerung der Genauigkeit. .............................................................................. 22
Rechenwalzen. ..................................................................................................................... 22
Steigerung der Genauigkeit ohne mechanische Hilfsmittel......................................................... 23
Abgekürzte Multiplikation. ...................................................................................................... 25
Genaues Multiplizieren großer Zahlen mit dem Rechenschieber. ............................................... 27
Beispiele zum vorigen Paragraphen. ....................................................................................... 28
§ 44.
§ 45.
Multiplikation mit der Skala R. ................................................................................................ 29
Die Multiplikation dreier Faktoren bei Benutzung der Skala R.................................................... 29
V.
Kapitel Die Division. .......................................................................................................31
§ 46.
§ 47.
§ 48.
§ 49.
§ 50.
§ 51.
§ 52.
§ 53.
§ 54.
§ 55.
§ 56.
§ 57.
§ 58.
§ 59.
§ 60.
§ 61.
§ 62.
§ 63.
Division durch graphische Subtraktion der Logarithmen. ........................................................... 31
Beispiele zum vorigen Paragraphen. ....................................................................................... 31
Die Ermittlung der Stellenzahl ohne Abschätzung. (Q + 1). ....................................................... 33
Der Rechenschieber als Proportionalitätstabelle. ..................................................................... 33
Beispiele zum vorigen Paragraphen. ....................................................................................... 33
Brüche mit verschiedenen Zählern und gleichen Nennern. ......................................................... 34
Mehrfache Division................................................................................................................ 35
Zusammengesetzte Multiplikation und Division. ........................................................................ 35
Beispiele zum vorigen Paragraphen. ....................................................................................... 36
Die Lösung linearer Gleichungen mit mehreren Unbekannten. ................................................... 37
Näherungsweise Darstellung eines Bruches durch kleinere Zahlen. ........................................... 38
Reziproke Werte................................................................................................................... 40
Beispiele zum vorigen Paragraphen. ....................................................................................... 40
Division mit der reziproken Skala............................................................................................ 42
Brüche mit gleichen Zählern und verschiedenen Nennern. Umgekehrte Proportionalität. .............. 42
Abgekürzte Division............................................................................................................... 43
Erhöhung der Divisionsgenauigkeit durch Reihenentwicklung..................................................... 45
Erhöhung der Divisionsgenauigkeit durch Umformung. .............................................................. 46
VI. Kapitel Potenzen und Wurzeln...............................................................................................47
§ 64.
§ 65.
§ 66.
§ 67.
§ 68.
§ 69.
Das Quadrieren. ................................................................................................................... 47
Steigerung der Genauigkeit beim Quadrieren. ......................................................................... 48
Die Kreisfläche. .................................................................................................................... 48
Beispiele zum vorigen Paragraphen. ....................................................................................... 50
Steigerung der Genauigkeit bei der Berechnung von Kreisflächen. ............................................ 51
Berechnung von Kreisteilen. Bogenmaß. ................................................................................. 51
§ 70.
Ausdrücke von der Form
§ 71.
§ 72.
§ 73.
§ 74.
§ 75.
§ 76.
§ 77.
§ 78.
§ 79.
§ 80.
§ 81.
§ 82.
§ 83.
§ 84.
§ 85.
Quadratwurzeln. ................................................................................................................... 55
Quadratwurzeln aus zusammengesetzten Ausdrücken. Kreisdurchmesser. ................................ 57
Steigerung der Genauigkeit bei Quadratwurzeln. ..................................................................... 59
Kubikzahlen. ......................................................................................................................... 60
Kugelinhalte.......................................................................................................................... 60
Erhöhung der Genauigkeit. .................................................................................................... 61
Kubikwurzeln. ....................................................................................................................... 61
Genauere Berechnung der Kubikwurzeln................................................................................. 63
Potenzen mit höheren Exponenten. Das Hornerscherna............................................................ 63
Wurzeln mit höheren Wurzelexponenten. ................................................................................. 64
Bruchpotenzen...................................................................................................................... 65
Die Potenzskalen des "Dar mst adt Nr . 21" und ihr Zusammenhang. ...................................... 65
Die Berechnung von Potenzen mit "System Darmstadt Nr. 21" für den Fall positiver Exponenten. 68
Die Berechnung von Potenzen und Wurzeln mit beliebigen Exponenten durch "System Darmstadt".70
Erweiterung des Bereiches für den Rechenschieber Nr. 21 System Darmstadt. ......................... 70
a
b2
,
a2
b
, a² ⋅ b²,
a2
b2
...................................................................... 54
VII.
Kapitel. ............................................................................................................................72
Logarithmen und trigonometrische Funktionen.........................................................................72
4
§ 86.
§ 87.
§ 88.
§ 89.
§ 90.
§ 91.
§ 92.
§ 93.
§ 94.
§ 95.
§ 96.
§ 97.
§ 98.
§ 99.
§ 100.
Die Aufsuchung des Logarithmus............................................................................................ 72
Beispiele zum vorigen Paragraphen. ....................................................................................... 73
Logarithmen mit beliebiger Basis............................................................................................ 73
Steigerung der Genauigkeit beim Logarithmieren..................................................................... 74
Steigerung der Genauigkeit bei. Aufsuchen des Numerus. ........................................................ 75
Die trigonometrischen Funktionen. .......................................................................................... 76
Die Aufsuchung von sin α, cos α, sec α, cosec α. ................................................................... 77
Die Aufsuchung der trigonometrischen Funktionen für Winkel nahe an 0° und an 90°. ................. 78
Beispiele zu den vorigen Paragraphen. ................................................................................... 79
Tangens und Cotangens. ....................................................................................................... 81
Beispiele zum vorigen Paragraphen. ....................................................................................... 81
Zusammengesetzte Ausdrücke, die aus trigonometrischej Funktionen gebildet sind. ................... 82
Steigerung der Genauigkeit bei der Aufsuchung trigonometrischer Funktionen............................ 83
Steigerung der Genauigkeit bei der Aufsuchung der Winkel. ..................................................... 84
Beispiele zu den vorigen Paragraphen. ................................................................................... 84
VIII.
Kapitel. ............................................................................................................................86
§ 101. Zinseszins- und Rentenrechnung. ........................................................................................... 86
IX. Kapitel. .....................................................................................................................................90
Trigonometrie. ..............................................................................................................................90
§ 102. Vorbemerkung. ..................................................................................................................... 90
§ 103. Das rechtwinklige Dreieck. .................................................................................................... 90
§ 104. Differentialformeln................................................................................................................. 91
§ 105. Einiges über Vektoren. .......................................................................................................... 92
§ 106. Komplexe Zahlen. ................................................................................................................. 94
§ 107. Das schiefwinklige Dreieck. ................................................................................................... 96
§ 108. Die Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks. ........................................................................ 96
1. Grundaufgabe........................................................................................................................ 96
2. Grundaufgabe........................................................................................................................ 98
3. Grundaufgabe........................................................................................................................ 98
4. Grundaufgabe...................................................................................................................... 100
5. Grundaufgabe...................................................................................................................... 101
§ 109. Differentialformein für das schiefwinklige Dreieck. ..................................................................102
Zusammenstellung von Bezeichnungen. .................................................................................105
Schlußwort. ................................................................................................................................105
I.
Kapitel
Genauigkeit und Abschätzung der Zahlen.
§ 1. Wertziffern.
Ein Gußstück wiege 34,136 kg, ein zweites 24,136 kg, ein drittes 34,126 kg. Das zweite ist erheblich
leichter als das erste, das dritte nur ganz unwesentlich. In beiden Fällen ist eine Ziffer der ersten Zahl (3) um
1 vermindert worden. Die sehr verschiedenartige Wirkung dieser Verkleinerung beruht darauf, daß dies
Schicksal eine Ziffer von verschiedenem Stellenwert betrifft.
Die Zahl, welche das Gewicht des ersten Gußstückes am wesentlichsten kennzeichnet, ist die am
Anfang stehende 3, wir nennen sie die erste Wertziffer. Wird sie geändert, so macht das außerordentlich viel
aus. Die zweite Wertziffer, hier 4, ist schon zehnmal weniger bedeutungsvoll, sie zählt die Einer, während
die erste 3 die Anzahl der Zehner angibt. Die dritte Wertziffer ist 1, die vierte 3, die fünfte 6. Verringert man
die erste Wertziffer um 1, so wird in unserm Beispiel das Gewicht um 10 kg geringer, wird die vierte
Wertziffer um 1 kleiner gemacht, so sinkt das Gewicht nur um 10 Gramm, trotzdem die beiden Ziffern
denselben Wert (3) haben.
Man kann das erste Gewicht auch gleich 34.136 g oder 0,034136 t schreiben. In beiden Fällen ist die
erste Wertziffer 3; wir wollen also bei Zahlen, die mit 0, oder mit 0,0; 0,00 usw. beginnen, die Nullen am
Anfang nicht mitzählen, sondern die erste von 0 verschiedene Zahl als erste Wertziffer bezeichnen.
Entnimmt man z. B. einer Tafel lg 2 = 0,30103, so ist die erste Wertziffer 3, die zweite 0, die dritte 1, die
vierte 0, die fünfte 3.
§ 2. Genauigkeit. Näherungswerte.
Die Anzahl der als richtig verbürgten Wertziffern gibt uns Aufschluß über die Genauigkeit der
betreffenden Zahl. Bekanntlich wird der Umfang eines Kreises gefunden, wenn man den Durchmesser mit
der Zahl π multipliziert. Man hat gefunden, daß π = 3,14159265358979... ist. Diese Zahl ist hier auf 15
Wertziffern genau angegeben worden. Man hat sie sogar auf mehr als 700 Wertziffern berechnet. Indessen
ist es sinnlos, mit so hoher Genauigkeit zu rechnen, weil die höheren Wertziffern den Betrag der Zahl kaum
merkbar beeinflussen, also in der Praxis ganz belanglos sind und nur unnötige Rechenarbeit verursachen.
Man arbeitet deshalb mit Näherungswerten. In alter Zeit mußte man es tun, weil die Methoden der
Mathematik noch nicht genügend entwickelt waren, um genauere Zahlen zu liefern, in neuerer Zeit benutzt
man sie, um bei der Rechnung keine unnötigen Zahlen mitzuschleppen. Solche Näherungswerte sind (das
Zeichen ∼ bedeutet "ungefähr gleich"):
π∼3
(1. Könige 7, 23)
16 2 256
) =
= 3,160...
9
81
22
1
= 3 = 3,1428...
π∼
7
7
(Papyrus Rhind, 2000 Jahre v. Chr.)
π ∼ 3,14
(in der Technik üblich)
π∼ (
(Archimedes, 287-212 v. Chr.)
333
= 3,1415094...
106
355
π∼
= 3,14159292...
113
π∼
Der erste Wert hat nur eine, der zweite 2, der dritte und vierte 3, der fünfte 5, der sechste 7 richtige
Wertziffern. Die Archimedische Zahl ist noch ein wenig genauer, als die in der Technik übliche, und dabei für
das Kopfrechnen bequemer.
Hat ein Kreis den Durchmesser 1 m, so macht man bei Benutzung des ersten Näherungswertes bei der
Berechnung des Umfanges einen Fehler (Wahrer Wert - Rechnung) von 14,2 cm; für die folgenden
1
Näherungszahlen erhält man: 2) -1,84 cm; 3) -1,21 mm; 4) + 1,59 mm; 5) 0,0832 mm ∼
mm;
12
6) -0,000267 mm ∼
1
mm.
3750
In der Praxis kommt man fast ohne Ausnahme mit einer Genauigkeit von drei Wertziffern aus. Man
verwendet z. B. bei graphischen Darstellungen Millimeterpapier, auf dem man eine Strecke von 4,2 cm
1
In der Praxis kommt man fast ohne Ausnahme mit einer Genauigkeit von drei Wertziffern aus. Man
verwendet z. B. bei graphischen Darstellungen Millimeterpapier, auf dem man eine Strecke von 4,2 cm genau,
4,24 cm nach Augenmaß (Abschätzung der Zehntelmillimeter) abtragen kann. Technische Messungen sind
meistens prozentual viel ungenauer, bei Temperaturangaben erhält man, wenn nicht gerade
Präzisionsinstrumente benutzt werden, und man noch Zehntelgrade schätzt, Angaben wie 12,4°, 17,7° usw.,
aber nicht 12,4021° u. dgl.
Die Angabe dreier Wertziffern genügt für die Praxis. Gerade diese Genauigkeit liefert der
Rechenschieber, unnötige Zahlen läßt er automatisch verschwinden.
§ 3. Die Behandlung der Brüche.
Aufgaben, wie 2
3
17
−1
5
19
, 30
1
7
⋅3
5
1
5
, 311 : 18
u. dgl sind recht lästig. Sie werden viel einfacher, wenn
16
6
29
man die gewöhnlichen Brüche in Dezimalbrüche verwandelt. Das ist bei Benutzung des Rechenschiebers eine
Kleinigkeit1. Es ist wirklich kein Zufall, daß die Maßeinheiten, welche in neuerer Zeit eingeführt wurden, wie
Meter, Kilogramm u. dgl. dezimal geteilt wurden, da man mit Dezimalbrüchen ebenso bequem rechnen kann,
wie mit ganzen Zahlen, wenn man nur die einfachen Regeln über die Stellung des Kommas, welche in jedem
Rechenbuch stehen, richtig anwendet. Hier darf allerdings nie ein Versehen vorkommen, weil dadurch das
Ergebnis, dessen Ziffern richtig gefunden sein mögen, gleich zehn- oder hundertmal zu groß oder zu klein wird.
Würde z. B. jemand den Inhalt eines Kreises vom Radius 4 cm (r²π) gleich 48 setzen, so würde das Ergebnis
von der Wahrheit (J = 50,265...) wegen des ungenauen Näherungswertes der Zahl π (π ∼ 3) natürlich
abweichen, aber der Fehler ist nicht entfernt so schlimm, als daß man J = 5,0265 oder 502,65 setzen würde.
§ 4. Kennziffer und Stellenzahl.
Die erste Ziffer einer bestimmten Zahl spielt in ihr die wichIgste Rolle. Ob die Zimmertemperatur 12,3°
oder 22,3° ist, das bedeutet einen großen Unterschied. Die zweite Wertziffer hat eine zehnmal so geringe
Bedeutung usf.
Vergleicht man aber zwei verschiedene Zahlen miteinander; so kommt es auf die Stellenzahl an. Hat z. B.
jemand 13457 RM., ein anderer 134,57 RM., so werden beide verhältnismäßig dieselbe Freude empfinden,
wenn eine unerwartete Einnahme die erste Wertziffer von 1 auf 2 emporschnellen läßt. Absolut genommen hat
aber der erste einen Gewinn von 10000 RM. zu buchen, der zweite nur einen von 100. Das Vermögen des
ersten wird durch eine fünfstellige Zahl ausgedrückt, das des zweiten nur durch eine dreistellige. Wir wollen
einer Zahl, welche mit Einern beginnt, die Stellenzahl (SZ) 1 geben, fängt sie mit Zehnern an, so sei ihre
Stellenzahl 2, bei Hunderten 3 usw. Bei 0,4 setzen wir SZ = 0, bei 0,032 SZ = -1, bei 0,00625 SZ = -2 usf. Bei
echten Brüchen verstehen wir also unter der Stellenzahl die Anzahl der Nullen, welche rechts vom Komma vor
der ersten von 0 verschiedenen Ziffer stehen, wir müssen sie aber mit einem negativen Vorzeichen versehen.
Beispiele:
Zahl
3,14 273 0,434 0,009 86400
Stellenzahl
1
3
0
-2
5
Kennziffer
0
2
-1
-3
4
Die in der letzten Rubrik aufgeführte Kennzif f er entsteht einfach dadurch, daß wir die Stellenzahl um 1
vermindern.
§ 5. Eine bequeme Schreibweise der Zahlen.
Man darf wohl als bekannt voraussetzen, daß unter a² das Produkt a • a verstanden wird, unter a³ der
Ausdruck a • a • a usw. Es ist zweckmäßig, a1 = a zu setzen, a −1 =
1
a
,a
−2
=
1
a
2
usf. Nimmt man für a den
Wert 10 an, so ist
100 = 1; 101 = 10; 10² = 100; 10³ = 1000; 104 = 10000 usf.
10
−1
=
1
10
= 0,1; 10
−2
=
1
10
2
= 0, 01; 10
−3
= 0, 001; 10
−4
= 0, 0001 usw.
Die Zahl 318,25 = 300 + 10 + 8 + 0,2 + 0,05 kann also geschrieben werden: 3 ⋅ 10² + 1 ⋅ 101 + 8 ⋅ 100 +
2 ⋅ 10-1 + 5 ⋅ 10-2. Aus diesem Beispiel ersieht man, warum die Kennziffern so festgesetzt werden, wie es
eben geschah. Man kann auch sagen: 318,25 = 3,1825 ⋅ 102 oder 31,825 ⋅ 101 oder 318,25 ⋅ 100 oder
3182,5 ⋅ 10-1 oder 31825 ⋅ 10-2 oder 318250 ⋅ 10-3. Es ist meistens am zweckmäßigsten, die vor der Potenz
2
von 10 stehende Zahl einstellig anzunehmen, also etwa 0,062 = 6,2 ⋅ 10-2 zu setzen; ebenso
6370000 = 6,37 ⋅ 106.
§ 6. Abschätzung.
Oft will man nur einen ganz ungefähren Näherungswert wissen, besonders dann, wenn die Zahlen, welche
der Aufgabe zugrunde liegen, recht unsicher sind, oder wenn es sich um eine Ueberschlagsrechnung handelt.
In diesem Fall genügt es, wenn man alle Zahlen auf eine, höchstens auf zwei Wertziffern abrundet. Gerade
bei Abschätzungen ist die soeben vorgeschlagene Schreibweise der Zahlen, welche die Potenzen von 10
benutzt, sehr zweckmäßig.
§ 7. Beispiele für Abschätzungen.
Beispiel 1. Ein Grundstück ist 32 m lang und 15 m breit. Die Baugrube soll 1,8 m tief sein. Wieviel wiegt
ungefähr die herauszuschaffende Erde, wenn 1 cdm davon 1,9 kg wiegt?
Lösung: Der Inhalt der Grube ist 32 ⋅ 15 ⋅ 1,8 cbm. 1 cbm Erde wiegt 1,9 t, also die gesamte Erdmasse
32 ⋅ 15 ⋅ 1,8 ⋅ 1,9 t. Abschätzung: 3 ⋅ 101 ⋅ 1,5 ⋅ 101 ⋅ 2 ⋅ 2 = 18 ⋅ 102 = 1800 t. Da 1 t = 20 Zentner ist, müssen
ungefähr 36 000 Zentner Erdreich entfernt werden. Der genaue Wert ist 1641,6 t = 32832 Zentner. Die
Größenordnung ist also bei der Abschätzung richtig getroffen, sie illustriert die hohen Kosten der
Erdbewegung.
Beispiel 2. Das Licht legt in jeder Sekunde 300000 km zurück Welche Strecke durchläuft es in einem
Jahr?
Lösung: Eine Minute hat 60 sec, 1 Stunde 3600 sec, 1 Tag 24 ⋅ 3600 sec, ein Jahr
365,25 ⋅ 24 ⋅ 3600 sec. Um die gesuchte Entfernung x zu erhalten, muß man die Zahl der Sekunden mit
300000 multiplizieren, also ist
x = 365,25 ⋅ 24 ⋅ 3600 ⋅ 300 000 km
x = 3,6525 ⋅ 102 ⋅ 2,4 ⋅ 101 ⋅ 3,6 ⋅ 103 ⋅ 3 ⋅ 105 km
x ∼ 4 ⋅ 102 ⋅ 2 ⋅ 101 ⋅ 4 ⋅ 103 ⋅ 3 ⋅ 105 km = 96 ⋅ 1011 km = 9,6 ⋅ 1012 km .
Der genauere Wert ist 9,467 ⋅ 1012 km, also etwa 9½ Billionen km.
Beispiel 3. Die Erde ist angenähert eine Kugel vom Radius r = 6370 km. Ihr Eigengewicht ist etwa s = 5,5
g/ccm. Wieviel wiegt sie?
Lösung: Der Inhalt einer Kugel ist
4
3
3
⋅ r ⋅ π ihr Gewicht also
4
3
3
⋅ r ⋅ π ⋅ s. Wollen wir die Lösung in
Gramm haben, so müssen wir den Radius in cm umrechnen.
6370 km = 6,370 ⋅ 103 km = 6,370 ⋅ 103 ⋅ 103 m = 6,370 ⋅ 103 ⋅ 103 ⋅ 102 cm. Das Gewicht ist:
G=
4
3
8 3
⋅ 3,14 ⋅ (6, 37 ⋅ 10 ) ⋅ 5, 5 Gramm . Wir setzen π ∼ 3, also
4
3
24
⋅ π ∼ 4 , g ∼ 4 ⋅ 6,37³ ⋅ 10
⋅ 6. Da
6 ⋅ 6 = 36, können wir 6,37² ∼ 40 setzen 6,36³ ∼ 40 ⋅ 6,37 ∼ 250. g ∼
4 ⋅ 250 ⋅ 1024 ⋅ 6 = 6000 ⋅ 1024 = 6 ⋅ 1027 g.
Das sind 6 ⋅ 1024 kg oder 6 ⋅ 1021 t (6000 Trillionen Tonnen). Der genauere Wert ist 5,95 ⋅ 1021 t.
Beispiel 4. Wieviel wiegt die Lufthülle der Erde, wenn auf 1 qcm ihrer Oberfläche ein Druck von 1,033 kg
ausgeübt wird?
Lösung: Die Oberfläche einer Kugel ist 4 ⋅ r² ⋅ π, also in qcm: O = 4 ⋅ π ⋅ 6,37² ⋅ 1016 qcm. Da auf jedem
qcm 1033 g lasten, ist das gesuchte Gewicht
G1 = 4 ⋅ π ⋅ 6,37² ⋅ 1016 ⋅ 1,033 ⋅ 103 g ∼ 12 ⋅ 40 ⋅ 1016 ⋅ 1⋅ 103 g
G1 ∼ 480 ⋅ 1019 ∼ 5 ⋅ 1021 g (genauer G1 ∼ 5,27 ⋅ 1021 Gramm).
Natürlich ist die Erdmasse viel schwerer als ihre Lufthülle, das Verhältnis ist ungefähr
6 ⋅ 10
27
5 ⋅ 10
21
6
∼ 10
27
= 1 Million. (Der genauere Wert ist
5, 95 ⋅ 10
5, 27 ⋅ 10
21
= 1,13 ⋅ 106
Beispiel 5. Ein stromführender Draht soll den Querschnitt 6 qmm haben. Jemand entnimmt einer
technischen Tabelle, daß der Durchmesser d = 8,74 mm ist. Stimmt das?
Lösung: Q = π ⋅
d
2
4
, also in unserm Fall Q ∼
3⋅9
4
2
∼
3 ⋅ 80
4
= 60 .
3
Das Ergebnis ist falsch, es gehört zu Q = 60 qmm. Der richtige Wert ist d = 2,76 mm.
§ 8. Wie erhält man größere Genauigkeit?
Man könnte einwenden, daß die eben gelehrte Methode des Abschätzens nur sehr rohe Resultate liefere.
Mehr soll sie aber auch gar nicht leisten; will man größere Schärfe haben, so wird man an die Regeln des
gewöhnlichen Rechnens denken. Vereinigen wir einmal die willkürlich angenommenen Zahlen 412,9 und
3,2655 durch die vier Grundrechnungsarten! Die Addition und Subtraktion ist spielend ausgeführt:
1.
412,9
2.
412,9
+3,2655
-3,2655
416,1644
409,6345
Enthalten die Ergebnisse mehr Wertziffern, als man braucht, so ist die Abrundung im Augenblick
geschehen; auf vier Wertziffern genau erhält man 416,2 und 409,6; auf drei Wertziffern 416 und 410.
Addition und Subtraktion machen also keine neuen Rechenmethoden notwendig, sie sind schon einfach
genug. Nun aber Multiplikation und Division! Wir rechnen zunächst so, wie wir es in der Schule gelernt haben:
3. 412,9
4. 412,90 : 3,2655 = 126,4431...
X 3,2655
326,55
20645
86350
140800
20645
65310
130620
24774
210400
101800
8258
195930
97965
12387
144700
38350
1348,32495
130620
32655
140800
5695
§ 9. Die Notwendigkeit bequemer Rechenhilfsmittel.
Wir sehen, daß diese beiden Rechnungsarten eine gewaltige Mehrarbeit erfordern, die rein mechanisch,
geisttötend und daher auch wirtschaftlich unrationell ist. Wie leicht kann ein einziger Rechenfehler sich
einschleichen und die ganze Mühe vergeblich machen! Beim Pot enzier en ist es noch schlimmer, da es eine
wiederholte Multiplikation ist und erst recht bei der Umkehrung dieser Operation, dem Wurzelziehen oder
Radizieren.
Alle diese Rechnungsarten sind von hervorragender praktischer Bedeutung; Flächen- und
Körperberechnungen, Umwandlung von Maßen, Gewichten und Geldsorten der verschiedenen Länder, die
Ermittlung der einfachen Zinsen und der Zinseszinsen usw. erfordern Multiplikation und Division, oft auch
Potenzieren und Radizieren.
So hat man sich schon lange nach Hilfsmitteln umgesehen, welche dem Rechner den größten Teil seiner
mühsamen Arbeit abnehmen. Die Praxis benutzt fast ausschließlich
Nestlers Rechenschieber.
Derartig fein durchkonstruierte Instrumente sind nicht auf einmal fertig da; sie haben ihre Vorläufer, nämlich
die Logarithmentafeln, welche früher fast ausschließlich zur Erleichterung des Rechnens dienten. Um die
Einrichtung des Rechenschiebers zu verstehen, muß man die wichtigsten Sätze der Logarithmenrechnung
kennen. Sie seien hier ohne Beweise (die sich in jedem Lehrbuch der elementaren Algebra finden) angegeben.
4
II.
Kapitel
Das Rechnen mit Logarithmen.
§ 10. Das Aufsuchen des Logarithmus.
Der Logarithmus einer Zahl besteht aus zwei Teilen, der Kennzif f er und dem Dezimalbr uch
(Mantisse). Wie man die Kennziffer findet, ist auf S. 2 schon angegeben, die Mantissen sind ein für allemal
berechnet und in den Logarithmentafeln niedergelegt. Da diese Dezimalbrüche im allgemeinen nie abbrechen,
so müssen sie abgerundet werden. je nach der Anzahl der Wertziffern, die dabei verbürgt werden,
unterscheidet man vier-, fünf-, . zehn- und mehrstellige Tafeln. Die vielstelligen Tafeln sind genauer, aber auch
bei weitem unbequemer als die, welche nur 4 oder 5 Wertziffern haben. Aber auch deren Genauigkeit ist in
der Praxis nur selten erforderlich, meist genügen, wie schon früher erwähnt, drei Wertziffern.
Wir teilen hier einen kleinen Auszug aus einer vierstelligen Tafel mit:
Zahl
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Mantisse
0
3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 9542
0
0414 0792 1139
Zahl
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Mantisse 1461 1761 2041 2304 2553 2788 3010 3222 3424 3617 3802 3979
Will man z. B. lg 20 finden, so entnimmt man der Tafel die Mantisse 3010; die Kennziffer ist 1, also erhält
man lg 20 = 1,3010. Entsprechend ist lg 2 = 0,3010; lg 200 = 2,3010; lg 2000 = 3,3010; lg 0,2 = 0,3010 - 1;
lg 0,02 = 0,3010 - 2 usw. Dieselbe Ziffernfolge (hier 20...) hat dieselbe Mantisse (3010); der Unterschied der
absoluten Größe (0,2; 2; 200 u. dgl.) wird allein durch die Kennziffer zum Ausdruck gebracht.
Man kann natürlich aus einer Logarithmentafel auch die Zahl (Numer us ) finden, die zu einem gegebenen
Logarithmus gehört.
§ 11. Multiplikation mit Logarithmen.
Satz 1. Der Logarithmus eines Produktes wird gifunden, indem man die Logarithmen der Faktoren
addiert.
[lg (a ⋅ b) = lg a + lg b]
Z. B. ist lg 8 = 0,9031; lg 2 = 0,3010. Die Summe beider ist 1,2041. Das ist aber gerade lg 16. Ist
x = 4 ⋅ 50, so ist lg x = lg 4 + lg 50 = 0,6021 + 1,6990 = 2,3011. Das ist lg 200. Die kleine Abweichung der
letzten Dezimale ist dadurch entstanden, daß wegen der Abrundung die letzte Ziffer bei beiden Logarithmen
etwa zu groß angegeben wurde (genauere Werte sind 0,60206 und 1,69897). Die kleinen Fehler haben sich
summiert. Natürlich macht eine derartige winzige Abweichung praktisch nichts aus.
Man bilde selbst weitere Beispiele!
Satz 1a. Ist eine Zahl zehnmal so groß wie eine andere, so ist ihr Logarithmus um 1 höher.
Es ist z. B. lg 40 = lg (4 ⋅ 10)=lg 4 + lg10 = 0,6021 + 1 = 1,6021, dagegen ist lg 0,4 = 0,6021 - 1. Unsere
Ausführungen über Kennziffer und Mantisse werden also durch Satz 1a bestätigt, Kennt man durch
Abschätzung den ungefähren Wert einer Zahl, so genügt die Angabe der Mantisse allein. Es sei etwa bekannt,
daß bei einer Aufgabe die gesuchte Zahl x ungefähr 200 ist, ihr Logarithmus ...,2788. Dann kann nur x = 190
in Frage kommen (nicht 1,9 oder 19). Wir wollen daher in Zukunft die Kennziffern im allgemeinen (nicht
immer!) unberücksichtigt lassen und nur mit den Mantissen rechnen. Die absolute Größe der Zahl läßt sich
stets durch Abschätzung finden.
§ 12. Division mit Logarithmen.
Satz 2. Der Logarithmus eines Bruches wird gefunden, wenn man den Logarithmus des Zählers um
den des Nenners vermindert.
Beispiele: 6.) lg
24
8
= lg 24 - lg 8 = 1,3802 - 0,9031 = 0,4771. Dies ist genau lg 3, wie es nach unserm
Satze auch sein muß. 7.) lg
80
5
ist, wenn wir nur die Mantissen hinschreiben, = ...,9031 - ...,6990 = ...,2041.
Hierzu gehören die Zahlen ...,0,016; 0,16; 1,6; 16; 160; 1600... Wie aber die Abschätzung ergibt (100 :
5 = 20), kommt nur 16 in Betracht. 8.) lg
1
273
= lg 1 - Ig 273 = 0 - 2,4362.Wir setzen, 0 = 3 - 3, also
5
1
lg
273
= 3 - 2,4362 - 3 = 0,5638 - 3. Wegen ihrer Kennziffer (-3) beginnt die gesuchte Zahl mit 0,00. Die
kleine Tabelle auf S. 5 zeigt, daß die folgende Ziffer 3 ist (Ig 3 = ...,4771). Eine ausführlichere Tafel liefert
1
273
= 0,003663. Ohne Kennziffer: lg 1 = ...,0000, lg 273 = ...,4362; lg
1
273
= ...,5638. (Man denkt sich bei
lg 1 links vom Komma eine Zahl, die so groß ist, daß die Subtraktion ausgeführt werden kann). Abschätzung:
1 : 300 = 0,00333...
Satz 2a. Ist eine Zahl zehnmal so klein wie eine andere, so ist der Logarithmus um 1 geringer.
DieserSatz sagt eigentlich nichts weiter aus, wie1a, er läßt sich aber auch aus 2 herleiten, wenn man
b = 10 setzt.
§ 13. Ergänzungslogarithmen.
Unter Ergänzungslogarithmen wollen wir Zahlen verstehen, welche die Logarithmen zu 1
vervollständigen. Von der Angabe der links vom Komma stehenden Zahl sehen wir ab; wir beschäftigen uns
nur mit der Mantisse. So erhält man aus unserer Tafel auf S. 5 folgende Zusammenstellung:
Zahl
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ergänzungslogarithmus
0
6990 5229 3979 3010 2218 1549 0969 0458
0
Zahl
11
12
13
14
15
19
20
18
19
20
Ergänzungslogarithmus
9586 9208 8861 8539 8239 7212 6990 7447 7212 6990
Zahl
21
22
23
24
25
Ergänzungslogarithmus
6778 6576 6383 6198 6021
§ 14. Division mit Ergänzungslogarithmen.
Satz 3. Der Logarithmus eines Bruches wird gefunden, indem man zu dem Logarithnrus des
Zählers den Ergänzungslogarithmus des Nenners hinzufügt.
Gehört zu einer Zahl a der Logarithmus lg a, so ist der Ergänzungslogarithmus E = 1 - lg a = lg 10 lg a = lg
10
a
. Es ist also lg b + E = lg b + lg 10 - Ig a = lg (10 b) - Ig a = Ig (
10 b
a
sich aber nur durch die Kennziffer (die wir doch unbeachtet lassen wollten) von lg
Bruches
b
a
) . Diese Zahl unterscheidet
b
a
. Der Logarithmus des
wird also gefunden, wenn man den Logarithmus des Zählers (Ig b) um den Ergänzungslogarithmus
E des Nenners a vermehrt.
Besonders einfach ist die Sache, wenn b = 1 ist. Den Ausdruck
1
a
nennt man den r ezipr oken W er t von
a. Der Logarithmus des reziproken Wertes von a ist einfach der Ergänzungslogarithmus E, welcher zu a
gehört, denn die Zahl, zu der er im allgemeinen Fall hinzuaddiert werden muß, lg b, ist hier gleich Null.
Beispiel 9. Wie groß ist x=
24
15
?
Lösung: b = 24, a = 15. Aus der Tabelle auf S. 5 findet man lg b = ...,3802. Aus S. 6 entnimmt man
E = ...,8239. Die Addition der beiden Zahlen liefert lg x = ...,3802 + ...,8239 = ...,2041. Dazu gehört als
Numerus 0,16; 1,6; 16; ...; da aber
Beispiel 10. Es soll x =
1
5
30
15
= 2 ist so kommt nur x = 1,6 in Betracht.
mit Ergänzungslogarithmen gefunden werden.
Lösung: Zu a = 5 gehört E = 3010; der zugehörige Numerus ist nach der Tabelle auf S. 5 gleich 2; also
1
5
= 0,2.
Beispiel 11. Wie groß ist x =
6
1
7
?
Lösung: E = ...,1549. Eine vollständige Tafel der vierstelligen Logarithmen belehrt uns, daß dazu
x = 0,1429 gehört. Sie besitzen diese Tafe! nicht? Unser Rechenschieber macht sie entbehrlich. (§ 86.)
§ 15. Multiplikation mit Ergänzungslogarithmen.
Satz 4. Der Logarithmus eines Produktes wird dadurch gefunden, daß man den Logarithmus des
einen Faktors um den Ergänzungslogarithmus des andern vermindert.
Beispiel 12. x = 20 ⋅ 4
Lösung. lg x = lg (20:
1
4
) = lg 20 - Ig (
1
4
). Der erste Bestandteil ist nach S. 5 ....,3010. Der zweite Term
ist der Ergänzungslogarithmus von 4; man erhält nach S. 6: E = ...,3979. Somit ist lg x= ...,3010 ...,3979 = ...,9031. Zu diesem Logarithmus gehört nach S. 5 der Numerus x = 8.
§ 16. Potenzieren mit Logarithmen.
Satz 5. Der Logarithmus einer Potenz (ab) wird erhalten, wenn man den Logarithmus der Grundzahl
(a) mit dem Exponenten (b) multipliziert.
[lg (ab) = b ⋅ lg a]
Eine Potenz ist ein Produkt aus gleichen Faktoren; vgl. S. 2; den gemeinsamen Faktor nennt man
G r undzahl, die Anzahl der Glieder Exponent . So ist in a² = a ⋅ a und in a³ = a ⋅ a ⋅ a die Zahl a Grundzahl,
während der Exponent im ersten Fall 2, im zweiten 3 ist. In der Praxis kommen eigentlich nur zweite und dritte
Potenzen vor mit alleiniger Ausnahme der Zinseszins- und Rentenrechnung. Wendet man Satz 1 wiederholt an,
so ergibt sich die in Satz 5 ausgesprochene Behauptung. Z. B. ist lg (a²) = lg (a ⋅ a) = lg a + lg a = 2 ⋅ lg a;
lg (a³)=lg (a ⋅ a ⋅ a) = lg a + Ig a + Ig a = 3 ⋅ lg a usf.
§ 17. Beispiele zum vorigen Paragraphen.
Beispiel 13. Man berechne die Potenzen von 2 logarith