Manual / Guide · 1898
Instruction booklet written by Prof. Ernst Hammer of the Stuttgart Technische Hochschule for Albert Nestler's rules (the preface says Nestler wanted a proper manual to accompany the instruments it supplied to Stuttgart students). Pre-dates the Rietz layout; the ancestor of Nestler's later manual of the same title.
Der logarithmische Rechenschieber und sein Gebrauch Hammer, Ernst Stuttgart, 1898 urn:nbn:de:hbz:466:1-76882 ■5'f « . < * *~ * * '-V * > Ti <* " » 4 V *<• >* * 1« •1‘«u * + ^ r > yX *? - < ' y * i- ^ f ^ ' m jm • 4- > ^ ^ -v i ■4*.- * c* * k r‘ - 1> I ** »fc '> mT > TMm t& * 'V 1 ? ? *4- * + * fy ,_ , 4 <■/*-<& * «<.. ^ mm ET” \ y .£ jf: $$ 1*?&&&. 1 « A- ' J& jfS » * * Vorbemerkung . Obgleich es an Beschreibungen und Anleitungen zum Ge¬ brauch des logarithmischen Rechenschiebers nicht fehlt , glaubte ich doch einer vor einiger Zeit an mich gekommenen Aufforderung zur Herstellung eines weitern solchen Rechenschieber - Heftchens , besonders im Hinblick auf die Bedürfnisse des Unterrichts an der K . Technischen Hochschule Stuttgart , entsprechen zu sollen . Wie andere Rechenschieber - Fabrikanten , wollte auch Herr Albert Nestler in Lahr (Baden ) , von dem in den letzten Jahren grosse Liefer¬ ungen von Rechenschiebern für die Studirenden der hiesigen Technischen Hochschule gemacht worden sind , seinen Instrumenten eine besondere Anleitung mitgehen können , die nun auf den fol¬ genden Seiten geboten wird und die die mündliche Anleitung zum grössten Teil zu ersetzen suchen soll . Eine solche mündliche Anleitung durch einen im Gebrauch des Rechenschiebers erfahrenen Rechner bleibt zwar immer die beste , ist aber nicht überall leicht zu haben und besonders im geodätischen Unterricht bei den gegenwärtigen Frequenzzahlen der Übungen an der hiesigen Tech¬ nischen Hochschule trotz der Vervielfältigung der Übungsstunden kaum mehr zu geben . Die folgende Gebrauchsanweisung , bei der selbstverständlich ein Leser vorausgesetzt wird , der den Schieber in der Hand hat , wird , wie ich hoffe , den Leser mit der Einrichtung des Rechen¬ schiebers rasch so weit vertraut machen können , dass er durch eigene Übung die grossen Rechenvorteile , die der Schieber bietet , ausnützen lernen wird . Denn wie in andern Dingen , die die Er¬ leichterung des Ziffernrechnens zum Zweck haben , beim Gebrauch der Logarithmentafel u . s . f. , kommt es in Beziehung auf den Nutzen , den der Rechenschieber gewähren kann , auf die erlangte Übung an : wer nur gelegentlich nach dem Instrument greift 4 ' Vorbemerkung. und sich nicht im Ablesen der Skalen die erforderliche Übung ver¬ schafft hat , wird seinen Nutzen nicht hoch anschlagen ; wer sich genügende Handfertigkeit im Gebrauch des Schiebers angeeignet hat , wird mit dem Unterzeichneten in dem logarithmischen Rechenschieber eine der wichtigsten der Erfindungen erblicken . Darf man doch Zahlenrechnung praktischen sagen , dass der gewöhnliche Rechenschieber für die Genauigkeits¬ stufe der Rechnung , für die er bestimmt ist , d . h . bei Rechnungen , die nur bis auf Viooo oder Vsoo des Ergebnisses genau zu führen sind , nicht nur dieselben Vorteile wie die logarithmische Ziffern¬ rechnung im Vergleich mit den elementar - arithmetischen Rechen¬ weisen bietet , sondern diese Vorteile weit überbietet : während z . B . beim Multipliziren zweier gegebener Zahlen bei der logarithmischen Ziffernrechnung die Logarithmen dieser beiden Zahlen aufzuschlagen , sodann zu addieren sind und schliesslich für den so erhaltenen Logarithmus die Zahl zu suchen ist , sind bei der Rechenschieber¬ rechnung in demselben Fall ebenfalls eigentlich die Logarithmen der zwei gegebenen Zahlen festzuhalten , aber als Punkte auf je einer nach den Zahlen bezifferten Skala , während das Addieren dieser Logarithmen mechanisch , mit Hilfe von Stab und Zunge am Rechenschieber zu machen ist und das Ablesen des Produkts wieder nur durch Ablesen der Zahl an einer Skala zu geschehen hat . Und nun gar vollends die Proportionsrechnung : hier er¬ setzt der Rechenschieber nicht etwa nur , wie oft gesagt wird , eine Logarithmentafel von geringer Stellenzahl , sein Wert ist vielmehr der , dass er mit jeder neuen Einstellung des verschieb¬ baren Teils , der Zunge , wieder eine vollständige neue , Zahlentafel vorstellt . Gerade zur fertig ausgerechnete Proportionsrechnung , speziell zur Ausrechnung von beliebigen Werten y nach wo a und b feste gegebene Zahlen y = ^ x, sind , während x eine beliebige Reihe von gegebenen Zahlen durch¬ läuft , ist der Rechenschieber ein ganz unersetzliches Hilfsmittel in den Händen keines Tech¬ , das vor allem nikers irgend welcher Stellung und irgend welcher Rich¬ tung fehlen sollte . Zu den in der vorliegenden Anleitung gegebenen Zahlen¬ beispielen ist noch zu bemerken , dass ich absichtlich vermieden 5 Vorbemerkung. habe , „ eingekleidete “ Aufgaben aus der Ingenieurmechanik oder Maschinenlehre zu verwenden , wie sie sich in den Anleitungen meist finden. Jeder Zweig der Technik hat seine eigenen An¬ wendungsgebiete für den Rechenschieber ( einem Architekten wäre wohl einmal zu empfehlen , eine Anzahl von „ Hilfskonstruktionen “ u . s . f. , wie sie in der Perspektive üblich sind , durch etwas Rechenschieber - Arithmetik mit Verwendung des Kantenmassstabs zu ersetzen ) und jeder Bau - oder Maschinen - Ingenieur hat Formel¬ zusammenstellungen und Tabellen , wie sie oft in Rechenschieber¬ anleitungen sich finden , anderweit zur Hand ( der Maschineningenieur z . B . in dem „ Taschenbuch der Hütte “ ) ; er wird , wenn er einmal in dem allgemeinen Gebrauch des Rechenschiebers einige Übung besitzt , auch sehr rasch lernen , seinen speziellen Formeln , wo es notwendig ist , die Gestalt zu geben , die für die Anwendung des Rechenschiebers die günstigste ist . Auch heute noch hat der Rechenschieber , besonders in Deutschland , nicht die Verbreitung , die er verdient , und auch heute noch werden selbst von Solchen , die ihn verwenden , nicht alle Vorteile des Instruments ausgenützt . Habe ich doch vor noch nicht langer Zeit den „ Läufer “ als vollständig überflüssig be¬ zeichnen hören ! Möchten die folgenden Zeilen wenigstens etwas zur noch weitern Verbreitung der vorstehenden Ansichten beitragen können . Stuttgart , November 1897 . E . Hammer . § 1. Einleitung : Einrichtung und älteste Geschichte der logarithmischen Skale . 1. Wenige Jahre , nachdem die Erfindung der Logarithmen durch den Schweizerischen Astronomen und Mechaniker ( Hofuhrmacher der .Landgrafen von Hessen in Kassel) Jost Bürgi ( 1552 - 1632 ) in Deutschland und durch den englischen Mathematiker Lord Napier of Merchiston (Neper ; 1550 - 1617 ) in England und ihre Vereinfachung ( Einführung der dekadischen statt der natürlichen Logarithmen durch den englischen Mathematiker Henry Briggs ( 1556 — 1630 ) der praktischen Zahlenrechnung des Multiplizirens, Dividirens , Potenzirens und Radizirens ihre endgiltige Form gegeben hatte , wurde auch die erste graphische Logarithmen skale hergestellt und zwar durch den eng¬ lischen Mathematiker , Geodäten und Astronomen Edmond Gunter ( 1581 bis 1626 ; sein „ Canon Triangulorum “ von 1620 gab , was nebenbei bemerkt sein mag , nur drei Jahre nach den Anfängen der Briggsschen Zahlen¬ logarithmen , auch die ersten Logarithmen mit der Basis 10 für die Funktions¬ werte Sinus und Tangens spitzer Winkel) . Er beschrieb die logarithmische Skala in seiner „ Description and Use of the Sector, Cross - Staff and other Instruments “ , London 1623 . 2 . Diese „ Gunter ’s Scale “ oder „ Gunter’s Line “ der Engländer ist die Grundlage des Rechenschiebers . Sie entsteht , wenn man auf einer geraden Linie von einem bestimmten Punkt aus in der¬ selben Richtung und selbstverständlich mit Zugrundlegung einer und derselben Längeneinheit Strecken aufträgt , die den Loga¬ der aufeinanderfolgenden Zahlen gleich sind , und nun rithmen an die Endpunkte dieser Strecken die den Strecken entsprechenden In einer vierstelligen Tafel der Zahlen ( Numeri ) anschreibt . Zahlenlogarithmen finden sich z . B . folgende zusammengehörige Numeri und Logarithmen : § 1. Einrichtung und Geschichte der logarithmischen Skale . Zahl Logarithmus 0 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 . 00 00 0 . 3010 0 . 47 71 0 . 60 21 0 . 69 90 0 . 77 82 0 . 84 51 0 . 90 31 0 . 95 42 1 . 00 00 Trägt man also auf einer Geraden von einem Punkt 0 dieser Geraden die Strecken OA , OB , 0 (7, 01 ) , . . . z . B . nach rechts hin so auf, dass sie den Zahlen 0,3010 , 0,4771 , 0,6021, 0,6990 . . . . proportional sind , dass also z . B . (auf Vio mm abgerundet) 0,4 = 150,5 mm , OB = 238,6 mm , 0 (7 = 301,0 mm , OD = 349,5 mm . . . lang ist , und schreibt schliesslich zu den Punkten A , B , (7, D . . . . die Zahlen 2 , 3 , 4 , 5 . . . . , während an den An¬ fangspunkt O der Strecken die Zahl 1 ( log 1 = 0) zü schreiben ist , so hat man die Grundpunkte oder Grundstriche der Gunter¬ skale . Zur praktischen Rechnung ist sie allerdings so noch in keiner Weise tauglich . Man muss dazu vor allem die Einteilung “ „ weiter treiben , so viele Teilstriche an ihrer richtigen Stelle auf der Skale ziehen , dass man zwischen zwei benachbarte Teilstriche hinein nach Augenmassschätzung bequem kann . Nun lauten z . B . die vierstelligen Loga¬ interpoliren rithmen für 1,1 , 1,2 , 1,3 . . . . 1,9 so : Zahl Log. 1,1 1,2 1,3 0 . 0414 0 . 07 92 0 . 1139 10 § 1. Einrichtung und Geschichte der logarithmischen Skale . strich 10 der linken Hälfte ( Anfangsstrich der rechten Hälfte ) der Endstrich 100 der rechten Hälfte . 3 . Übrigens ist schon klar geworden , dass man bei der Her¬ “ stellung einer solchen „ Gunter - Scale oder logarithmischen Teilung der Logarithmen gar keine Rücksicht zu auf die Kennziffern an¬ nehmen braucht , dass es vielmehr nur auf die Mantissen kommt , wie denn auch in der zahlenlogarithmischen Haupttafel gar keine Kennziffern stehen sondern nur Mantissen ; mit andern Worten , dass es gleichgiltig ist , ob man die Hauptstriche der rechten Hälfte der Skala in der That mit 20 , 30 , 40, . . . 100 beziffert oder ebenso wie in der linken Hälfte wieder mit 2 , 3 , 4 . . . 10 ; oder , noch anders ausgedrückt , dass ein bestimmter Strich der linken oder der rechten Hälfte der ganzen Teilung , z . B . der mit 3 bezifferte , ebensowohl 3 als 30 , 300 . . . . , als auch 0,3 , 0,03 . . . . bedeuten kann . 4 . Um nun mit Hilfe einer solchen Gunter - Skale , die in der folgenden Fig . 1 einfach ( nur in der linken Hälfte ) und nur mit den Hauptstrichen angedeutet ist , zu rechnen , d . h . um mit ihrer 1 J_**- 2 Loa 2 — Log _ ^ I 2 log 4 1 5 _ ( log 6 ( = locj 2 ~ Log 3 ) zg _ 1 1 _ _ 6 7 9 8 10 _ !_ I_ l ... l - L I ^ Figur 1. Hilfe bei Multiplikation und Division die Vorteile der Logarithmen¬ rechnung zu geniessen ( Verwandlung der Multiplikation in Addition , der Division in Subtraktion nach log ( a b ) = log a + log b und = log a — logb ) , musste man noch den Zirkel anwenden . Um z . B . 2 X 3 zu rechnen , nahm man die Strecke ( 1 ) ( 2 ) in den Zirkel (man hatte damit eine Strecke , die in dem bestimmten Mass¬ stab der Skale gleich log 2 ist ) und setzte den hintern Zirkelfuss in den Strich 3 ( dessen Entfernung vom Strich 1 in demselben Mass¬ stab gleich log 3 ist ) : der vordere Zirkelfuss reichte dann rechts bis zu dem mit 6 bezifferten Strich , so dass also 2X3 = 6 gerechnet war nach log 6 = log 2 + • log 3 , aber ohne dass man mit den Logarithmen Ziffern irgend etwas zu thun gehabt hätte , viel¬ mehr ist die Rechnung rein mechanisch gemacht worden . So ist Gunter ’s logarithmischer Massstab thatsächlich be - 2. Geschichte des heutigen Rechenschiebers. 11 nützt worden . Und diese Zirkelverwendung auf logarithmischen Skalen hat sich hei den erweiterten Gunter - Skalen der Seeleute , die eine ganze Anzahl von nautisch wichtigen Teilungen enthalten , zum Teil bis in die neueste Zeit herein erhalten ( vgl . z . B . Jerr rnann , Die Gunterskale , Hamburg 1888 ) . 2. Fortsetzung . Geschichte des heutigen Rechenschiebers . 1 . Der heutige Rechenschieber hj jjT CO > — — to ►Ai fcd — ——^ CP- —tr> — — kp ui — ~ o *<1Ceo G war aber erst erfunden , als , wenige Jahre nach Erfindung der Gunter - Skale der Engländer Wingate ( 1593 - 1656 ) , der zuerst für die Verbreitung des Guter sehen loga¬ rithmischen Massstabs gewirkt hatte (und auch um die logarithmisch - numerische Rechnung sich durch eine musterhaft angeordnete Logarithmentafel Ver¬ dienste erworben hat ) 1627 den Vorschlag machte , den Zirkel dadurch entbehrlich zu machen , dass man zwei solche , genau mit einander übereinstimmende Gunter - Skalen an einander verschiebbar anordnet . Denkt man sich in der That unter die oben in § 1 angedeutete Skale A eine zweite , genau da¬ mit übereinstimmende und gegen A längs der Teil¬ kante verschiebbare Teilung B gelegt , Fig . 2 , so hat man , um 2 X 3 = 6 auszurechnen , nur die 1 von B genau unter 2 von A zu bringen und sodann über 3 von B auf der Skale A abzulesen ; und allgemein ist in derselben Art auch a . b nach log ( a b ) = log a -+- log b zu rechnen . In späterer Zeit ist der Gunter - Wingatesche Rechenschieber mehrfach weiter vervollkommnet worden , . Über z . B . 30 Jahre nach Wingate von Seth Partridge den Stand der Rechenstabherstellung in der zweiten Hälfte zu des vorigen Jahrhunderts ist eine Schrift von Lambert weitreichenden Blick für das dev mit seinem vergleichen, Praktisch - Wichtige in der Mathematik die Bedeutung des Rechenschiebers zu würdigen wusste : Beschreibung und Ge¬ brauch der logarithmischen Rechenstäbe , Augsburg 1772 . Einer der wichtigsten neuern Fortschritte war der, dass man , 2. 12 § 2. Geschichte des heutigen Rechenschiebers. ausser den Teilungen A und B , unten auf dem Stab , der oben A trägt , also unterhalb der „ Zunge “ oder dem Schieber, der B trägt , eine weitere Teilung anbrachte , die zwar genau dieselbe (logarithmische) Teilung wie A und B vorstellt , aber in doppelt so grossem Massstab aufgetragen ist , so dass damit die so oft vorkommenden Quadrate und Quadratwurzeln der Zahlen bequem zur Hand waren. In unsrem Jahrhundert hat der Rechenschieber , wenn auch langsam ( besonders in Deutschland) , stetig an Boden gewonnen, ohne dass in den letzten Jahrzehnten mehr eingreifende Änderungen in der An¬ ordnung des Instruments geschehen wären . Auch mehrere weitere Zugaben , z . B . die Sinus- und Tangens- Teilungen der Rückseite der Zunge sind im Vergleich mit der Hauptbestimmung des Schiebers ohne grosse Bedeutung . Hervorzuheben ist nur noch Eine sehr wichtige Vervollständigung, der sog . Läufer ( Courseur der Franzosen) , um 1850 von dem damaligen Artillerie¬ lieutenant Mannheim in Metz ( später Professor in Paris ) eingeführt ; er gestattet auch längere Rechnungen ohne Zwischenablesung mit dem Schieber auszuführen. Zu erwähnen ist ferner noch , dass der Rechenschieber die Form und Ausstattung ( Teilungslänge u . s . f.) , in der wir ihn jetzt verwenden , in Paris erhalten hat ; von dorther wurden bis vor 30 JV ren auch fast alle Rechenschieber bezogen , die in Deutschland gebraucht wurden ; die Firma Tavernier war besonders für gute Rechenschieber bekannt ( sie hiess zuerst Gravet- Lenoir, dann Tavernier- Gravet, dann Tavernier - Vinay ) , die aus Buchs¬ baumholz in der natürlichen Farbe dieses Holzes hergestellt waren. In den letzten Jahren hat die technische Herstellung der Schieber besonders in Deutschland Fortschritte gemacht ; es giebt jetzt in Deutschland mehrere Fabriken guter Rechenschieber, die meist das ebenso beständige Mahagoni¬ holz verwenden, die Teilungen aber nicht mehr auf dem Holz , sondern auf darauf befestigten Streifen von weissem Celluloid mit scharfen schwarzen Strichen auftragen . Das Verdienst der Einführung dieser Neuerung gebührt Dennert und Pape in Altona . Schieber aus Metall (Messing , Neusilber , vernickeltem Stahl ) sind zwar sehr beständig , aber auch sehr teuer und haben leicht den Übelstand , dass die Oberfläche beim Gebrauch entweder zu matt und unrein ( Messing ) oder aber glänzend wird (Neusilber) ; in beiden Fällen leidet die bequeme und scharfe Ablesung Not . 3 . Ein Wort ist gleich hier noch beizufügen über besondre Formen des logarithmischen Rechenschiebers und über Rechenschieber zu besondern Zwecken , d . h . zur Rechnung nach besondern Formeln u . dgl . Schon Will. Oughtred (1574— 1660 ) hatte vor der Mitte des 17 . Jahrhunderts vorgeschlagen, die geradlinige Kante der zwei von Wingate benützten Gunterskalen durch zwei gegen einander drehbare , zusammenfallende Kreisumfänge zu ersetzen , wobei der Vorteil entsteht , dass man die Skale nur Einmal ( in sich zurückkehrend , d . h . den ganzen Kreisumfang einnehmend) braucht , nicht zweimal wie bei dem gewöhnlichen geradlinigen Schieber, so dass ein solches , nach heutiger Terminologie als Rechenscheibe bezeichnetes Instrument von a cm Teilungsdurchmesser nicht nur einen Rechenschieber von a . n , sondern einen solchen von 2 a . n ganzer Teilungslänge ersetzt . § 2. Geschichte des heutigen Rechenschiebers. 13 Dieser Vorschlag ist in der Folge dann sehr oft wiederholt worden (in den letzten Jahrzehnten z . B . Rechenscheiben von Sonne , ausgeführt von Lands¬ berg , u . A . in Deutschland ; auch der Cercle ä Calcul von Boucher in Frankreich , der „ Rechenknecht“ von Herrmann und viele ähnliche Instru¬ mente gehören hieher , obgleich sie für die wichtigste Rechnung, Multipli¬ kation und Division, nur Eine Skala haben und eigentlich auf die „ Gunter Skale “ zurückgehen, wenn auch die Zirkelöffnung durch einen ZeigerCentriwinkel ersetzt wird) . Auch das Rechenrad ist zu nennen , bei dem die Teilungen A und B nicht auf den gegen einander verstellbaren Umfängen zweier übereinstimmender Kreise , sondern auf den Stirnen zweier neben einander liegender Räder von gleichem Durchmesser aufgetragen sind (das Rechenrad ist in Deutschland eingeführt worden von A . Beyerlen , vgl. Zeitschr . für Vermess . 1886 , S . 382 ). — Von der Länge der ganzen Teilung , von der Längeneinheit , nach der der logarithmische Massstab aufgetragen ist , hängt die Genauigkeit ab , die man bei der Rechnung mit dem Instru¬ ment wird erreichen können . Um sich die Bequemlichkeit der Rechenschieber¬ rechnung auch für solche Rechnungen zu sichern , zu denen der gewöhnliche Schieber von 25 cm ganzer Teilungslänge ( Einheit 125 mm lang ) an Ge¬ nauigkeit nicht ausreicht , hat man deshalb die Teilungslänge zu vergrössern gesucht . Der eine solche Versuch sind eben die Rechenscheiben und Rechen¬ räder . Man kann aber selbstverständlich auch geradlinige Skalen von grösserer Länge hersteilen . Mit genau derselben Einrichtung wie beim gewöhnlichen Rechenschieber kommt man jedoch nicht weit , da das Instrument rasch unhandlich wird ; der sog . 50 cm - Schieber ( ein Rechenschieber von ganz derselben Einrichtung wie der unten näher zu beschreibende, nur mit durch¬ aus verdoppelten Skalenlängen, steht bereits an der Grenze eines bequem handlichen und noch aus Holz mit Nutzen herstellbaren Instruments ) . Neben dem 50 cm - Schieber sind Rechentafeln und Rechenwalzen in grosser Zahl entstanden , die denselben Zweck der Genauigkeitssteigerung durch weitere Verlängerung der geradlinigen Skalen verfolgen ; dabei ist nun aber bei diesen Instrumenten die Skale in einige Stücke zerschnitten , um das Ganze auf bequeme Länge zu bringen . Genannt seien wenigstens die Rechentafel von u . A . ; die Scherer in Kassel und die Rechenschieber von Hannyngton Rechenwalze von Thacher ( die die Teilung A in einzelnen Stücken auf Mantellinien [ Stegen] eines Oylinders aufgetragen hat , während die Zungen¬ teilung B sich auf einem in jenem Stegcylinder verschiebbaren Cylinder in derselben Art angeordnet befindet) und andere Rechenwalzen u . s . f. Erwähnt sei auch, dass man Rechenschieber gewöhnlicher Form zwischen dem 25 - und 50 cm - Schieber hergestellt hat , ferner Rechenschieber mit kleinerer Teilungs¬ länge als sie der 25 cm - Schieber hat u . s . w . 4 . Auch ]"dass man für besondre Zwecke ( Rechnung nach speziellen Formeln) besondre Rechenschieber eingerichtet hat , sei hier nur erwähnt . Besonders weite Verbreitung haben davon seit 50 Jahren allmählich die sog . Tachymeterschieber gefunden zur Ausrechnung der Horizontalentfernung und des Höhenunterschieds tachymetrisch aufgenommener Punkte nach 14 § 3. Beschreibung des Rechenschiebers. e = I ?. eos 2 « , h = e . tg a = E . ~ sin2 a ; solche Schieber sind von Wild , Moinot , Werner u . v . A . angegeben worden . Auch besondre Einrichtungen zur Rechenschieber-Ausrechnung barometrisch gemessener Höhen ( von Koppe , Bischoff , Hammer u . a .) sind zu erwähnen ; wie man denn gerade für geodätische Zwecke mancherlei besondere Schieber hergestellt ' hat . 5 . Alles Folgende bezieht sich aber zu¬ nächst auf den geradlinigen Rechenschieber von 250 mm ganzer Teilungslänge , der für jeden Techniker unentbehrlich ist . Wer in der Arbeit mit diesem Instrument gut eingeübt ist , findet sich auch leicht an einem längern oder besonders eingerichteten Rechenschieber oder an einer Rechenwalze zurecht . ü o fcd ffl § 3. Beschreibung des Rechenschiebers . Der Rechenschieber (in Deutsch¬ land früher vielfach auch Rechenstab genannt ; französisch : Regle ä Calcul oder Reglelogarithmique ; englisch : Slide Rule ; italienisch : Regola calcolatore ) besteht aus dem Stab und der Zunge (dem beweglichen Teil , oft auch Schie¬ ber genannt , welcher Name nun aber gewöhnlich das ganze Instrument be¬ zeichnet ) ; dazu kommt für viele Zwecke als notwendige Ergänzung der Läufer . 1. ip [ t :d U- l za xa — E^# — o 1 CS3 ölni 2 . Der Stab St (Fig . 3 ) und die darin in einer Nut verschiebbare Zunge Z ( derenHandhabung früher durch einen kleinen Knopf auf dem Ende der Zungen¬ oberfläche erleichtert war , jetzt durch einen Ausschnitt oder zwei Ausschnitte an der Unterfläche des Stabs bequem gemacht ist ) sind aus Holz hergestellt (für die billigen Sorten Birnbaumholz u . dgl . , früher in der Regel Buchsbaum¬ holz , jetzt besonders Mahagoniholz ) . Der 3. Beschreibung des Rechenschiebers. 15 “ der Zunge darf nicht zu leicht und nicht zu schwer sein . Bei den frühem Schiebern waren die Teilungen unmittelbar auf das Holz aufgetragen , bei den neuern Schiebern befinden sich die Teilungen , in feinen schwarzen Strichen , auf Celluloidstreifen . „ Gang B. fläche . Teilung A auf der obern Hälfte der Stabober¬ Die obere Hälfte der Staboberfläche zeigt bei A eine logarithmische Teilung ( eine Gunter - Skale ) genau von der Einrichtung , wie sie in § 1 beschrieben ist , zweimal neben ein¬ ander aufgetragen mit der Längeneinheit 125,00 mm ( d . h . es wird auf ihr log 10 = 1,00000 durch die angegebene Länge dargestellt ) . Die Striche 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ( = 1 ) der linken Hälfte der Skale haben also folgende Entfernungen von dem mit 1 beziffer¬ ten linken Anfangsstrich ( vgl . die 5 - stelligen Log . der Zahlen 2 , 3, . . . . 9 in der Logarithmentafel ) : Strecke zwischen : Länge dieser Strecke : und 2 1 3 „ 1 4 „ 1 5 „ 1 , 6 1 , 7 1 , 8 1 9 „ 1 1 , 125 X 0,30103 = 125 X 0,47 712 = 125 X 0,60 206 = 125 x 0,69 897 = 37,63 mm 59,64 „ 75,26 „ 87,37 „ 125 X 0,77 815 = 97,27 „ 125 X 0 . 84 510 = 105,64 „ 125 X 0,90 309 = 112,89 „ 125 X 0,95 424 = 119,28 , 1 ( 10 ) 125 X 1,00 000 = 125,00 „ Die rechte Hälfte der ganzen Skale A ist die genaue Kopie der linken , und auch in derselben Art mit 1 , 2 , 3, . . . . 9 , 1 beziffert , nicht mit 10 , 20 , 30, . . . . 90 , 100 . Es ist gleich hier nochmals zu merken , dass auf der Skala A z . B . der Strich 4 in der linken oder rechten Hälfte jede beliebige der Bedeutungen . . . 0,004 , 0,04 , 0,4 , 4 , 40 , 400, . . . hat , d . h . dass die Stellung des Dezimalkommas bei gegebenen und abge¬ lesenen Zahlen nicht in Betracht kommt und vom Schieber nicht geliefert wird . Aus den oben angeschriebenen Zahlen für die Entfernung der Striche vom Anfangsstrich liest man z . B . ab : Strecke ( 1 ) (4) gleich 2mal Strecke ( l-> ( 2 ) ( da Ing 4 = 2 . log 2 ) ; Strecke ( 1 ) (9 ) gleich 2mal Strecke ( 1 ) ( 3) ( da log 9 = 2 . log 3) ; Strecke ( 1 ) ( 6) gleich 16 § 3. Beschreibung des Bechenschiebers . Strecke ( 1 ) ( 2 ) plus Strecke ( 1 ) ( 3) ( da log 6 = log 2 -+- log 3 ist ) ; Strecke ( 1 ) ( 10 ) gleich Strecke ( 1 ) ( 2 ) plus Strecke ( 1 ) ( 5 ) , ( log 10 = log 2 + log 5 ) u . s . f. Über die weitere Einteilung von A s . unten in 6 . 4 . Teilung B auf der Obern Hälfte der Zunge . Die an der Stabteilung A sich verschiebende obere Zungenteilung B stimmt mit A vollständig überein ; und diese beiden Skalen A und B stellen also den für Multiplikation und Division von Zahlen des Rechenschiebers vor . Es gieht Schieber , bestimmten Hauptteil auf denen nur diese beiden Skalen vorhanden sind ( ebenso wie auf den gewöhnlichen Rechenscheiben , die nur diese zwei Skalen bieten können ) . 5 . Die Teilungen C und D . Bei der gewöhnlichen Aus¬ führung der Schieber trägt nun aber auch die untere Hälfte der Zunge eine Teilung C und ebenso die untere Hälfte des Stabs eine Teilung D . Bei den ältern Schiebern war auch die Teilung C nochmals vollständig mit A identisch ( so dass also die Grund¬ teilung A im ganzen dreimal vorhanden war , oben auf dem Stab und zweimal auf der Zunge ) und es wird diese „ alte “ Teilung auch heute noch von Manchen vorgezogen . Bei allen neuern Schiebern ist aber die Einrichtung so , dass die Skalen C und D unter sich genau übereinstimmen , von A und B aber verschieden sind . Jedoch liegt der Unterschied von C , D gegen A , B nur im Massstab : C und D sind ebenfalls logarithmische Skalen , nur in doppelt so grossem Massstab , als ihn A und B haben , aufgetragen . Man kann aus der obigen Tabelle demnach die Entfernungen der (mit den grossem Zahlen bezifferten ) Striche 2 , 3 , 4, . . . . der C - und D Teilung vom Anfangsstriche 1 dadurch ablesen , dass man jene Zahlen verdoppelt . Genau dieselbe Strecke , die die aus zwei gleichen Hälften bestehende A - Teilung oben auf dem Stab einnimmt , nimmt die einfache D - Teilung unten auf dem Stab ein ; die mit 1 bezifferten Anfangs - und Endstriche von A und von D stehen dabei genau über einander . Genau über 2 , 3, . . . . der D - Teilung werden damit auf der A - Teilung die Striche 4 , 9, . . . . sich be¬ finden : die Skala A ist die „ Quadratteilung “ im Vergleich mit D , oder es ist D die „ Quadratwurzelskale “ im Vergleich mit A . — Die sog. „ neue “ Form des Schiebers , C = D , statt wie auf der § 3. Beschreibung des Rechenschiebers . 17 Form C = A = B , ist von Tavernier - Vinay in Paris worden und jetzt allgemein ge¬ ( vgl . § 2 , 2 ) zuerst ausgeführt bräuchlich . Sie verlangt allerdings unbedingt den Läufer (s . u .) ohne als Beigabe , während man sich bei der altern Einrichtung ihn behelfen konnte . Da aber der Läufer für andere Zwecke ohne¬ hin unentbehrlich ist und man bei der neuen Einrichtung in der können als mit der Lage ist , viele Rechnungen schärfer führen zu alten , so ist jene als die bessere zu bezeichnen, die mit Recht die alte fast ganz verdrängt hat . „ alten “ 6 . Unterteilungen und Bezifferung in jeder der Skalen . Zwischen den Hauptstrichen , deren Entfernung vom Anfangsstrich Tabelle enthält , 1 in den Skalen A und B die oben angegebene sind nun noch so viele Striche an den ihnen zukommenden Orten zu ziehen , dass zwei benachbarte Teilstriche um nicht 1 mehr als etwa 1 bis 17 2 mm und nicht weniger als etwa /.2 mm die Haupt¬ von einander entfernt sind . Man wird also zwischen striche 1 und 2 der Skalen A und B hinein jedenfalls einmal die Striche für 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 . . . . 1,9 (oder 11 , 12 , 13 . . . . 19 u . s . f. ) ziehen . Mit den Log . dieser Zahlen aus der 5 stelligen Tafel findet man für die Entfernungen dieser Striche vom Anfangs¬ punkt 1 der Skale A oder B aus folgende Werte : ( 1,0 ) ( 125 X 0,00 000 == 0,00 mm ) 125 X 0,04 139 == 5,17 Jf 1,1 125 X 0,07 918 == 9,90 n 1,2 125 X 0,11 394 == 14,24 y> 1,3 125 X 0,27 GOU- ßiII= 34,84 n 1,9 . ) ( 2,0 ) ( 125 X 0,30 103 == 37,63 mit 1000 multiplizirt und ( mit 125 multiplizirt man , indem man mit 8 dividirt ) . Der Abstand der Striche 1 und 1,1 am Anfang der Skale A beträgt also noch ( auf 0,1 mm abgerundet ) 5,2 mm , die Entfernung der Striche 1,9 und 2 noch 2,8 mm . Man wird demnach in der Unterteilung noch weiter gehen , und zwar sind zwischen 1 und 1,1 ; zwischen 1,1 und 1,2 ; . . . . ; zwischen 1,9 und 2 je noch die Striche für 1,02 , 1,04, . . . . , 1,08 ; 1,12 , 1,14 . . . . , selbst 1,18 ; . . . . ; 1,92 , 1,94, . . . . , 1,98 angebracht . Man rechne sich 18 § 3. Beschreibung des Rechenschiebers. mit Hilfe der Logarithmentafel alle diese Strecken vom Anfangs¬ strich 1 aus . Von dem Hauptstrich 2 an würden die Striche für das Inter¬ vall 0,02 , das , wie angegeben zwischen 1 und 2 noch vorhanden ist , rasch zu eng beieinander zu stehen kommen ; es ist deshalb zwischen 2 und 5 nur noch das Intervall 0,05 gewählt d . h . es , sind die Striche für 2,05 , 2,1 , 2,15 , 2,2 , 2,25 2,3 . . . . bis 4,9 , , 4,95 , 5,0 vorhanden . Und zwischen 5 und 10 ( 1 ) würdeu auch diese Striche zu eng zu liegen kommen , und es ist deshalb nur noch das Intervall 0,1 gewählt , d . h . die unmittelbar auf 5 folgen¬ den Striche bedeuten 5,1 , 5,2 , 5,3 . . . . , 6,0 6,1 . . . ; . , 9,9 , 10,0 , ( oder 1 ) . Die Entfernungen der Striche 5 und 5,1 vom Anfangs¬ punkt 1 sind z . B . 5 | 125 X 0,69 897 = 87,37 mm 5,1 j 125 X 0,70 757 = 88,45 „ , sie sind also noch 1,1 mm von einander entfernt die ; Entfernung der Striche 9,9 und 10 vom Anfangspunkt der Skale ist dagegen : 9.9 125 = 564 X 0,99 mm 124,45 | 10 | 125 X 1,00 000 = 125,00 „ , d . h . diese Striche sind nur noch zwischen und 0,5 0,6 mm von einander entfernt und ein „ Weitertreiben “ der Teilung an dieser Stelle würde nicht mehr den Vorteil einer Erhöhung der Genauig¬ keit der Schätzung zwischen die Skalenstriche hinein bieten wohl , aber den Nachteil geringerer Übersichtlichkeit der ganzen Teilung bringen . Nach denselben Erwägungen sind auch die kleinsten Teile gewählt , die auf den Skalen C und D noch direkt angegeben sind . Zwischen den Zahlen 1 und 2 sind selbstverständlich zunächst wieder die Striche 1,1 , 1,2 , 1,3, . . . . 1,9 angebracht sodann aber , , dem gegen A und B verdoppelten Massstab entsprechend , zwischen diese Striche hinein nicht nur die Striche 1,02 1,04 . . . wie auf . , A und B sondern die Striche , 1,01 , 1,02 , 1,03 . . . . 1,99 , 2,00 ; zwischen 2 und 4 ist das Intervall der Striche 0,02 sie lauten , nämlich von 2 aus : 2,02 , 2,04 , 2,06 2,08 ; 2 10 ; 2,12 , , , 2,14 , 2,16 , 2,18 ; 2 , 20 ; . . . . 3,98 ; 4 , 00 . Zwischen 4 und 10 endlich ist hier als kleinstes Intervall 0,05 gewählt so dass die Striche von 4 aus , bedeuten : 4,05 , 4,10 , 4,15 , 4,20 . 9,90 , 9,95 , 10,00 . Die Bezifferung der Striche auf den vier Skalen wird mit § 3. Beschreibung des Bechenschiebers . 19 Rücksicht auf die Übersichtlichkeit der Teilung zweckmässig mit möglichst wenigen Zahlen gemacht . Auf A und B stehen nur (in jeder der beiden Hälften ) die Zahlen 1 , 2 , 3, . . . . , 9 , 1 bei den Hauptstrichen ; ebenso auf C und D von 2 aus gegen rechts nur die Hauptzahlen 3 , 4 . 5 , . . . . 1 ( 10 ) dagegen zwischen 1 und 2 noch die kleinern Ziffer 1 , 2 , 3 , . . . . 9 , die also als : 1,1 , 1,2 , 1,3 , . . . . 1,9 zu lesen sind . Diese Bezifferung genügt in der That vollständig und ist selbst bei nur geringer Übung im Rechenschieber - Rechnen der (neuerdings oft vorgeschlagenen ) direkten Bezifferung auch noch weiterer Striche entschieden vorzuziehen . Dabei muss allerdings dafür gesorgt werden , dass durch verschiedene Strichlängen die Übersichtlichkeit und leichte Lesbarkeit aller Skalen genügend gewahrt ist . Es sind auf den Teilungen drei Strichlängen vor¬ handen ; die kürzesten z . B . auf A und B zwischen 1 und 2 für die Striche 1,02 , 1,04 , 1,06 , 1,08 ; 1,12 , 1,14 , 1,16 , 1,18 ' ; 1,22 . . . . 1,28 ; u . s . f. ; zwischen 2 und 5 für die Striche 2,05 , 2,15 , 2,25 . . . . 2,95 ; 3,05 , 3,15, . . . . 4,95 ; endlich von 5 an für 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 ; 5,6 , 5,7 , 5,8 , 5,9 ; 6,1 u . s . w . bis 10 . Die nächst langem Striche sind auf A und B angewandt zwischen 1 und 2 für die Striche 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 ; 1,6 , 1,7 , 1,8 , 1,9 ; zwischen 2 und 5 für die Striche 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 ; 2,6 , 2,7 , 2,8 , 2,9 ; 3,1 u . s . f . bis 4,9 ; zwischen 5 und 10 endlich nur noch für die Striche 5,5 6,5 , , 7,5 , 8,5 , 9,5 . Die längsten Striche endlich sind benützt für 1 1,5 2 2,5 3 , , , , , 3,5 , 4 , 4,5 , 5 ; 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , wobei , wie schon angegeben ist , die Striche 1 , 2 , 3 , 4, . . . . 9 , 10 zugleich beziffert sind . Ebenso für die Teilungen C und D , z . B . bedeuten die kürzesten Striche zwischen 1 und 2 die Zahlen 1,01 1,02 1,03 , , , 1,04 ; 1,06 , 1,07 , 1,08 , 1,09 ; . . . . 1,98 , 1,99 ; die nächst längern 1,05 , 1,15, . . . . 1,95 ; die längsten 1,0 , 1,1 , 1,2 , 1,3 . . . . 1 . 9 , 2,0 , wobei diese zugleich sämtlich ( 1 und 2 grösser , 1,1 , 1,2 . . . . 1,9 kleiner ) beziffert sind . Ähnlich für die folgenden Intervalle 2 bis 4 und 4 bis 10 . Es ist sehr wichtig , sich sogleich wenn man den , Rechenschieber zum erstenmal zur Hand nimmt , alle diese Ein¬ richtungen genau einzuprägen . Sog . 7T- Striche sind in der Regel auf den Teilungen A und B angebracht : bei 3,142 befindet sich ein längerer Strich auf A und B , 20 § 3. Beschreibung des Rechenschiebers . ferner meist auf B allein bei 7854 = 0,7854J . Diese Striche erleichtern die Kreis - und Kugelreehnung . 7 . Rückseite der Zunge . Hier sind drei weitere Teilungen angebracht . Die mittlere davon ist eine völlig gleichförmige Teilung , deren Striche je 0,500 mm von einander entfernt sind , beziffert von 1 bis 10 , wobei jeder solche Hauptteil ( 1 ) ( 2 ) , ( 2 ) ( 3 ) . . . . in 10X5 gleiche Teile (9 ) ( 10 ) genau 25 mm lang und also zerlegt ist . Die Striche vom Anfangsstrich 0 aus bedeuten demnach 998 , 1000 . der Reihe nach 002 , 004 , 006 , 008 , 010 , 012 , 014 . Es ist diese Teilung , die als L- Teilung bezeichnet sei , die Gegen¬ beiden Skalen teilung zu D ; man kann nämlich mit Hilfe dieser die Logarithmen zu gegebenen Zahlen aufsuchen und umgekehrt und so demnach mit dem Schieber , wenn auch nicht unmittelbar wie be¬ Quadrate und Quadratwurzeln ( vgl . 5 ) , so doch indirekt auch — Die zwei äussern liebige Potenzen und Wurzeln ausrechnen . Skalen der Rückseite der Zunge , mit S und T bezeichnet , lassen die Sinus und Tangenten gegebener Winkel ablesen und sind demnach mit Winkelgradzahlen beziffert . Die Teilung S für Sinus 34 ' ,4 entspricht beginnt links mit einem Anfangsstrich , der ' ' • 3438 ) der erste bezifferte Strich heisst 40 , dann , (= ~ q = ' ' ' ' kommt 45 , 50 , 55 , 1 ° 0 , u . s . f. , die letzten rechten Striche der ° ° S- Teilung bedeuten von 70 an (was noch angeschrieben ist ) 72 , 74 ° , 76 ° , 78 ° ; 80 ° , 85 ° , 90 ° . — Auf der T - Teilung dagegen ° 44 ' ( = ^ ° = entspricht dem Anfangsstrich die Ablesung 5 ° 45 ' 5 ° 50 ' 5 ° 55 ' , 6 ° u . s . f. ° , , ^ • 57 ,3 ) , dann folgen die Striche 5 ' ' ' 10 ' ° von 5 zu 5 bis zu 30 , von dort an sind Striche von 10 zu *° 45 ° . — (für jeden - - ) angegeben , der Endstrich rechts entspricht Hilfe eines Abgelesen wird an diesen drei Teilungen z . T . mit Indexstrichs , der an dem in 1 . angegebenen Ausschnitt auf der Unterseite des Stabs rechts ( oft auch links ) sich befindet ; z . T . wird aber auch die Zunge umgewendet gebraucht , vgl . u . Die Bedeutung dieser Teilungen L , S , T der Rückseite der A B - und selbst Zunge ist im Vergleich mit der Bedeutung der , mit der C , D - Teilung gering ; vorläufig soll auf sie keine Rücksicht genommen werden . § 3. 8 . Läufer . Beschreibung Eine des Rechenschiebers . 21 für viele Rechnungen notwendige , für andre zweckmässige Vervollständigung des Rechenschiebers ist der Läufer , bestehend aus einem leichten Metallrahmen , der an den Seitenflächen des Stabs geführt ist . Die obere Seite des Rahmens enthält eine Feder , durch deren vorsichtiges Biegen man der Index¬ linie auf dem Läufer eine etwas andre Lage geben kann . Auf den ältern Läufern waren zwei Indexstriche angebracht , entweder durch die Schneiden von kleinen Vorragungen an dem Metall¬ rahmen oder durch eingerissene Linien auf solchen vorstehenden . Zähnen . Einer dieser Indices lag auf der Trennungslinie A/B , der zweite auf der Trennungslinie C/D . Neuerdings wird fast stets einem „ Glasläufer “ der Vorzug gegeben , bestehend aus einem in den Metallrahmen gepassten Glasplättchen , dessen Unterfläche un¬ mittelbar über den Teilungen von Stab und Zunge sich bewegt und den Indexstrich in Gestalt einer feinen geschwärzten Linie trägt . Wenn , wie sehr häufig , die Teilungen A und D zusammen¬ wirkend benützt werden sollen , so muss der Indexstrich scharf richtig gestellt sein , d . h . er muss , wenn er hei D auf 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ge¬ stellt wird , auf A scharf die Striche 4 , 9 , 16 , 25 , 36 decken . 9 . Massstäbe am Stab des Rechenschiebers . Rück¬ seite des Stabs . An der abgeschrägten Seitenfläche des Stabs neben der Teilung A ( — diese Seitenfläche ist , vgl . Fig . 3 , oben auf ein kleines Stück rechtwinklig abgeschnitten , um auch als zweite Führungsfläche für den Läufer eine Fläche ähnlich wie auf der gegenüberliegenden Seitenfläche des Stabs zu gewinnen — ) befindet sich an der scharfen Kante ein Millimetermassstab von 250 mm Länge , der als genauer Zeichenmassstab sehr willkommen ist . Sodann findet sich an der Seitenfläche des Stabs , die neben der Teilung D liegt , ein genau an der linken Ecke des Stabs mit 0 beginnender weiterer Millimetermassstab , der rechts bei einer Gesamtlänge des Stabs von 260 mm genau mit 26 cm ab schliesst und nun auf dem nach Ausziehen der Zunge nach rechts sichtbar werdenden „ Grund “ des Stabs mit 261 , 262, . . . . mm bis 52 cm sich unmittelbar fortsetzt . Man hat so ein Anlege - und Stichmass , das in der Entfernung : linke Endfläche des Stabs bis zum rechten Ende der Zunge bequeme Ablesungen bis zu 52 cm auf dem Stabgrund liefert . 22 § 3. Beschreibung des Rechenschiebers. i- Auf der Rückseite des Stabs finden sieb , auf einem aufgekleb¬ ten Blatt , eine Anzahl von metronomischen , physikalischen und technischen Notizen zusammengestellt , die man oft brauchen kann . 10. Prüfung des Stabs . Krummwerden ; Gang der Zunge. Ehe man einen Schieber beim Kauf annimmt, ist genau nachzusehen , ob , wenn man die linke 1 der Zunge mit der linken 1 von A und von D zur Deckung bringt auch die rechten End¬ , striche von A , B , C , D scharf zusammenfallen . Wenn diese Probe scharf stimmt , so sind die Teilungen genügend kontro' lirt , da sie mit Teilmaschinen hergestellt werden und kaum ungleich¬ Schwinden von Stab oder Zunge zu befürchten ist ; förmiges immerhin beachte man auch einige Zwischenstriche an A/B und C/D . — Die Einrichtung, die das Krummwerden des Schiebers verhindert , ist noch zu erörtern . Nestler hat dies bei seinem Schieber einfach dadurch erreicht , dass er , nach der Angabe des Ingenieurs Rees , einen Celluloidstreifen nicht nur auf dem Grund des Schiebers ( bei ausgezogener Zunge sichtbar werdend und die oben in 9 . erwähnte Teilung 26 bis 52 cm tragend ) , sondern auch auf der Rückseite des Stabs aufleimte ; D . R . G . M . Nr . 41294 . Die Stäbe bleiben in der That damit gut gerade , während sie früher bedeutende Längen und besonders Querkrümmungen erlitten . Eine kleine Längskrümmung des Stabs erschwert übrigens den Gang der Zunge nicht merklich ; wohl aber ist Krummwerden der Zunge allein , oder eine Querkrümmung des Stabs misslich . Bei der jetzigen Einrichtung rührt zu schwerer Gang der Zunge fast stets nur von Unreinigkeiten her , die in die Nuten gekommen sind . Man reinige , wenn die Zunge zu schwer geht , die Nuten und ebenso die da¬ mit übereinstimmende Feder an der Zunge sorgfältig , worauf die Zunge leichter gehen wird . Mit Ölen ist in der Regel nicht viel zu erreichen ; es darf jedenfalls nur bei ganz reinen Oberflächen von Nut und Feder und nur mit feinem Knochenöl , nicht mit vege tabilischem Öl geschehen , macht aber häufig den Gang der Zunge , wenn es auch momentan hilft , auf die Dauer nicht