Anleitung — Castell Präzisions-Rechenstäbe Novo-Duplex Nr. 2/83, 62/83
ER.lrELl
Präzis Ions-Rechenstäbe
Novo-Duplex
Nr. 2/83, 62 83
~.
,
•
:1 1 ~1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~, 1 1 1 1 1 1 1 1
A. w. F A B E R • c A s T e l l
•
s T e1N b • 1 N u R N B E R G
INHALTSUBERSICHT
Skalen des Rechenstabes . . . . . . . . . .
Ablesen der Ska len in 25 cm Teilungslänge
Ablesen der Skalen in 50 cm Teilungslänge
Multipllkotlan
. . . ~ • -· . _ _ . .
Division
. . . . . . . . . . . . . .
Ve reinigte Multiplikation und Division
Tabellenbildung
. . . . . . . . . .
Rechnen mit der reziproken Teilung Cl
Rechnen mit den Teilungen Cf, DF, CIF .
Quadrat und Quadratwurzel . . . . . .
Kubus und Kubikwurze l . . . . . . . . .
Rechnen mit der pythagoreisch en Teilung P
Sei te
Seite
3
3
5
.b
7
7
8
8
10
11
11
12
Rechnen mit den trigonometrischen Teilungen S,
Ti und T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Tellung für k leine Win kel ST und die Marke Q
auf C und D . . . . . . . . .
15
Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . .
16
Rechnen mit den Wurzelskalen W1, W1', W2
und W2'
Multiplika t ion
Dlvj slon
Tabellenbildung
Quadrat und Quadratwurzel
17
17
H.
19
19
Rechnen mit der Mantissentei lung L
20
•
r:
.-.~
t~
~„
Exponentialteilungen LL1 , LL2 , Lls für pos. Exponenten
LL01, LL02, Llos für neg. Exponenten
21
Natürliche LogarHhmen
22
Potenzen von e . . . . . .
22
Wurzeln aus e . . . . . . .
23
Potenzen beliebiger Zahl en
23
Wurzeln beliebiger Zahlen .
23
Dekadische Logarithmen . .
24
Logarithme ni mit beliebi ger Basis
25
Ex ponen tialteih.mg für eo.001 x
25
.._4.
....
Bedeutung der Skalen•Morken
26
. -" """'4 ~
Der Läufer
27
"'
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„
l.
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1
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2
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1
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.... ........ -~
Skalen des Rechenstabes
Alle Skalen sind auf die Grundakalen C und D bezogen und tragen am rechten Stabende die mathematische Formelbezelchnung, die auf die Bezifferung der Grundskalen ausgerichtet Ist.
Der den Stab gönzllch umfassende löufer ermögllcht eine Verbindung des Rechnungsgangea Ober alle Skalen der
Vorder- und ROdcselte des Rechenstabes.
Die Vorderseite trögt folgende Skalen:
Die RUdlaelte trögt folgende Skalen:
Kubenskala
• . • • •
1. Tangensskala • . • • . .
2. Tangensskala
. • . . • •
feste 11:- versetzte Skala • • .
bewegllche n-versetzte Skala
rezip roke 11-versetzte Ska la
reziproke Grundskala
bewegllche Grundskala
feste Grundskala • • •
Bogenmaßskala fOr klelne ~
Si nusskala
pythagoreische Skala
K • . . • x*
T1 ~ tan 0,1 x (cot)
T1 ~ tan x (cot)
DF •
11 X
CF .
'1: X
CIF .
1 :nx
Cl
1 :x
C
X
D
• • X
ST ~ arc 0,01 x
S ~ sln 0,1 x (cos)
P
v'1-(0,1 x)1
Exponentlalskalen
fOr negative
Exponenten
2. teste Wurzelskala
2. bewegllche Wurzelskala
Mantlssenskala
. . • • .
bewegllche Grundskala
1. bewegliche Wurzelskala
1 . feste Wurzelskala
Exponentlalskalen
tor positive
Exponenten
Llos .
Llot .
Llo1 .
W1 ' •
W3 • ••
L
„.
C
W 1' •
W1
LL1
LL1
Ll.a
e·X
e--0,1 X
e--0,01x
y'10x
y'10x
lg X
X
y'x
vx
e0,01
X
eD,1 X
ex
·· oas Ablasen dar Skalen In 25 cm Tellungsliinge bei 2/85: C, D, CF, DF, Cl, CIF
und bei 62/85: W1 W/ Wa W2'
Es Ist zu merken:
Der Rechenstab zeigt nicht die Grl56enanordnung einer Zahl an. So kann also L B. der auf dem Stab eingetragene
Wert 6 sowohJ 6; 0,6; 60; 600; 6000; 0,()06 uaw. bedeuten.• Die Stellung des Kommas wird durch Uberschlagsrechnung
mit abgerundeten Zahlen nachtragllch ermlttelt. In den meisten praktischen Aufgaben Ist die Stellung dea Kommas Im
voraus bekannt, ao da& sich weitere Stellenwertsregeln erObrlgen. Man macht sich die Unterteilung der Skalen am
besten an den beiden Grundskalen C und D klar. Ist uns deren Einteilung vertraut, werden wir auch die Obrlgen
Skalen verstehen.
Alle rot elngefarbten Skalen verlaufen entgegengesetzt (reziprok) von rechts nach links, oder es sind sogenannte Ubertellungen, die das Welterrechnen bei Grenzwerten errnl5gllchen, die gerade etwas unter 1 (Teilungsanfang) oder Ober
10 (Teilungsende) liegen.
• Eine Au-time bllden die Ellponentlol1tolen (1. s. 21 oben).
_, .,.
. .... .
Doch betrachten wir nun die Grundakalen C und D auf der Stabvorderselte, wobei fOr die Ablese- und ElnatellObungen
der lange Lauferstrlch oder die lndex-1 (Slcalenanfang) bzw. lndex-10 (Skalenende) benutzt werden.
:·.=:.:
1
1
0
S
M
-
0
~ ~
0
1
i ,j ~
CX>
0
~
11
Ausschnitt aus dem Teilungsbereich
von 1 bis 2 (Skala C und 0)
10 Unterabschnitte zu je
1{) Intervallen
(- 1/100 oder 0,01 pro Teilstrich)
1
1
''
Abb. 1
'
1015
Hier lassen sich ohne weiteres 3 Stellen genau ablesen (z.B. 1-0-1). Durch Halbieren der Strecke zwischen 2 Tellatrlchen
kann man 4 Ziffern genau elnstellen. (Z. B. 1-0-1-5). Die letzte Zahl Ist dann Immer eine 5.
• lt
33
34
35 36 37 38 ~ 39
Ausschnitt aus dem Teilungsbereich
1
1
1
1
~~
1 von 2 bis+ (Skala C und D)
111111111111111111111111 1i 1
1111111 m 1
111111 je 10 Unterabschnitte zu je
·.
!
5 Intervallen
3
31
32
,~~~~,
von Leitzahl i
•• leltzahl 4
1
Abb.2
4
:
(-
1/50 oder 0,02 pro Tellstrlch)
383
Hier lassen sich 3 Ziffern genau ablesen (3-8-2). Letzte Ziffer Ist Immer eine gerade Zahl (2, 4, 6, 8). Halbiert man die
Zwischenraume, erhalt man auch die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7. 9 (3-8-3).
8 ::;
„
(•Y;ta'
von Lelbahl 8
n Leitzahl 10
N
85
M
-0
.....
CD 0.
9-
N
M
„ 95
-0 "- 00
°'
1Q
1 ~ ~ ~ ~ 1~ ~ ~ ~ 1
1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1t 1 1 1
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mm mm
l l l l l l l l ul l l l l l l
' J 1„
905 :
9075
Ausschnitt aus dem Teilungsbereich
von 4 bis 10 (Skala C und D)
je 10 Unterabschnitte zu je
2 Intervallen
(=- 1/20 oder 0,{)5 pro Teilstrich)
„
Abb.3
Hier kann man 3 Stellen genau ablesen, wenn die letzte Ziffer eine 5 Ist (9-0-5). Durch Halbieren der Zwischenraume
erhalt man sogar -4 genaue Stellen. Die letzte Ziffer Ist auch hier stets eine 5 (9-0-7-5).
-
L•
~i"~ •
„ -..-:..
P
.,..
.--
Das Ablesen der Skalen In 50 cm Tellung1Hlnge W1 WtW2 W2' bei 2183
Diese Skalen sind an den Sehleberfugen der Stab-ROckselte angeordnet und verlaufen von 1-3,16 unten und 3,16-10 oben.
Bel Ihrem Gebrauch Ist erhöhte Genauigkeit gegeben. Allerdlng• welchen sie In der Elntellung von den Skalen der
25 cm-TellungslBnge ab.
T.Uunpberelch von 1-2
Dieser Abschnitt Ist :runöchst In zehn Unterabschnitte elngetellt, die mit 1,1, 1,2, 1,3, 1,4 .. • bis 1,9 beziffert sind. Jeder
dieser Abschnitte Ist wieder In zehn Untertelle :rerlegt; nur stehen Jetzt kein• Bezifferungen dabei, da der Platz hier·
fOr fehlt. Und :rwlschen diesen Tellstrlchen endlich Ist mit einem kfelnen Strich auch noch die Mitte eingetragen.
Man kann ablesen : 1-1-2-5; 1-3-1-5; 1......_5; 1-5-2-5; 1·7·1·5 ..• 1-9-7-5.
Tellungsberelch von 1-1
Auch hier besteht die erste Unterteilung wieder In Zehnteln, nur sind sie mit Ausnahme der Tellstrlche fOr die Werte 2;
2,5; 3; 3,5; 4; 4,5 und 5 nicht be:rlffert. Die Obrlgen Zehntel muß man selbst erkennen, also die Werte 2,1; 2,2; 2,3 ...
bis 4,7; 4,8; 4,9.
Zwischen diesen Zehnteln sind auch wieder Zehntel eingetragen, aber die Mitten zwischen Ihnen sind nicht mehr bezeichnet. Man hat demnach, bei 2 beginnend und ohne das Komma zu benutzen, die folgenden Werte: 2-0.0; 2-0-1; 2-0-2;
2•0-3; 2-0-4; 2.Q.5; 2-0-6; USW. bis 4-9-7; 4-9-3; 4-9·9; 5-0-0.
lelm Teilungsbereich von 1-11 sind zunöchst wieder die Zehntel eingetragen; aber :rwlschon Ihnen nur noch die FOnf·
tel. Man hat danach bei 5 beginnend die folgenden Teilstriche vor sich: 5.Q.-0, 5-0-2, 5-0-4, 5-0-6, S-0-8, 5-1-0, 5-1-2 usw.
bis 9-9-6, 9-9-8, 1-0.0.
.
Das Ablesen der Skalen In 12,5 cm TellungsHinge bei 62/83: C, D, CF, DF, Cl, CIF
Au11chnltt aus Tellungsberelch 1·2
Von Leitzahl 1 zu Leitzahl 1,2
Ausschnitt aus Tellungsberelch 2·S
Von Leitzahl 2 zu Leitzahl 3
111 = =1
„ •=1 -,~
T___._.....__,__....
__ _...._.___, ......_..._......
8
......,._.___._~_.
;
1Ö1
~-
_._...._~_,___.....__.__..._.__.___..J
Au11chnltt aus Teilungsbereich 5-10
Von Leltzahl 5 zu Leltzohl 7
•
1
' incu~~~I :ii~&11Ji f ;Q!3tT1~'~ 1
_1 1 1 1
1 1 1
1 • 11 I I
!I
1 1
•Ol
Hier kann man 2 Stellen genau ab·
Hier kann man ebenfalls 3 Stellen
Hier lassen sich 3 Stellen genau abgenau ableserr, wenn die Endzahl
lesen, bzw. sind diese durch Tell·
lesen. Die ungeraden Zahlen erhfüt
striche markiert.
man durch Halbieren der Zwlscheneine 5 Ist.
röume (101, 103 usw.).
Der Ablesestrich der Teilungen geht aber weit Ober diese Mög1lchkelten hinaus. Die weiteren Zwischenwerte mUssen
jedoch abgeschötzt werden.
.·
...
„„ „ •
-
III ._
Muhlpllkatlon
Man verwendet vor allem die Hauptskalen C und D.
Belsplel: 2,45 • 3 - 7,35
Man stellt 1 am Zungenanfang (C 1) Ober 2,"5
der unteren Stabskala (D 245), bringt den Löuferstrlch Ober 3 der unteren Zungenskala (C 3)
und llest das Produkt 7,35 unter dem Lauferstrlch auf der unteren Stabslcala (D 735) ab.
Belsplel : 2,04 • 3,18 - 6,487. Man stellt C 1 Ober D 2,04, zieht den Läuferstrlch Ober C 3,18 und llest glelchfalls unter dem
Lauferstr1ch auf D das Ergebnis 6,49 ab.
Belsplel: 11,"5 · 4,22 ... 48,3. Man stellt C 1 Ober D 11,45, zieht den Löuferstrlch Ober C -4,22 und llest glelchfalls unter
dem Uiuferstrlch auf 0 das Ergebnle "6,3 ab.
Es kommt beim Rechnen auf den unteren Skalen C und D vor, daß die Zunge mit der Elnstellung C 1 Ober 1. Faktor
auf Skala D zu weit nach rechts heraussteht, so daß der 2. Faktor nicht mehr auf C eingestellt werden kann.
Durchschieben der Zu119e
..,,
c
Belsplel: 7,5 • -4,8 - 36
In diesem Fall schiebt man die Zunge nach llnks
so weit durch, bis 1tatt Zungenanfang C 1 da1
Zungenende C 10 Ober dem 1. Faktor auf Skala
D steht.
Abb. S
Man nennt diesen Vorgang „Durch1chleben der Zunge". Man kann es vermelden, wenn man Im Bedarfsfall gleich
C 10 (Zungenende) Ober den 1. Faktor stellt. Ein geObter Rechner weiß sofort, welche Elnstellung er wählt, ob ,,Zungenanfang C 1 Ober 1. Faktor" oder aber „Zungenende C 10 Ober 1. Faktor".
Ubungsbel1plele: Elnstellung „Zungenanfang C 1 Ober 1. Faktor": 1,82 • 3,9 - 7,1 ; 0,246 · 0,37 - 0,091 ; 213 · 0,258 - 54,95
Elnstellung „Zungenende C 10 Ober 1. Faktor": -4,63 · 3,17 = 1.+,67; 0,69-4 · 0,484 = 0,336
Das „Durchschieben der Zunge" Ist bei den x-versetzten Skalen CF und DF In Zusammenarbeit mit C und D nicht erforderlich (siehe Seite 10).
.'
„
-„
Division
Mit Hiife des Löuferatrlchs stellt ma.n Zahler auf D und Nenner auf C gegenOber
und kann unter Zungenanfang C 1 oder Zungenende C 10 das Ergebnis ablesen.
Belsplel: 9,85 : 2,5 -
3,94
Man schiebt zuerst den löuferatrlch Ober
den Z6hler 9,85 auf der unteren Stabkörperskala D, zieht dann den Nenner 2,5 (auf
Tellung C) unter den l6uferttrlch. Jetzt
stehen sich Zahler und Nenner gegenOber
und unter dem Zungenanfang C 1 kann
man daa Ergebnis 3,94 auf Skala D ablesen.
c
D
Abb.6
Ubungsbelsplele: 970: 26,8 - 36,2; 285: 3,1-4 - 90); 7500: 835 = 8,98; 0,685 : 0,454 - 1,509; 68: 258 - 0,26"
Yerelnlgte Multlpllkatlon und Division
13,8 . 24,5 • 3,75
Beispiel: 1716 · 1.9,6 . 4196 ... 01"91
Man beginnt 1tet1 mit der Division und lößt dann abwechselnd Multlpllkatlon und Division folgen. Die Zwlschenergebnl11e brauchen nicht abgelesen zu werden. Man stellt also zuerst D 1-3-8 und C 1-7-6 mit Hiife des Löuferstrlchs gegenOber (Division). Das Ergebnis, angenöhert 0,8 unter C 10 auf D, blelbt unobgelesen und wird sofort mit 24,5 multlpllzlert,
Indem man den Lauferttrfch auf C 2-4-5 setzt. Das Ergebnis (rund 1-9 auf D) wird hierauf dufdt 29,6 dividiert, Indem
man den Lauferatrlch festhalt und C 2-9-6 darunter schiebt. Es folgt die Multiplikation des Ergebnl11es (0,65 unter C 10
auf D) mit >7-5 und anschlleßend die Division durch 4,96 In gleicher Welse. Das Ergebnis 0,491 kann man dann unter
C 10 auf D ablesen.
Ubungsbelsplele:
38,9 -1e1~
- 2,883;
141,2 . 2,14
1,89 . 1,68 . 8,76
- 01723·;4176
7
= 36,95
1 •
..
Tabellenblldung
Man stellt bei der Tobellenblldung die Jewelllge Porltöt ein und kann dann Umrechnungen von Maßen, Gewichten und
anderen Einheiten untereinander durchführen. Ist die Einheit, z. 8. 1 Inch - 25,4 mm, bekannt, stellt man C 1 Ober den
entsprechenden Wert; Ist die Porltöt, z. 8. 75 lb1. sind 3-4 kg, bekannt, stellt man auf C und D beide Werte gegenüber.
Bel1plel: Mon wlll Yards In Meter umrechnen. 82 Yards sind 75 Meter.
Mon stellt C 75 Ober D 82. Damit Ist
eine Tabelle hergestellt und man
kann ablesen: 42 Yards sind 38,4 m,
2,8 Yards sind 2,56 m; 640 Yards sind
585 m; 16 m sind 17,5 Yards; 128 m
sind 140 Yards usw.
D
Ubunga·
bel1plele
1 engl. Zoll - 25,4 mm (Porltöt
26" =- 66 cm). Stelle C 1 (linke 1
von C) Ober D 2-5-4 (2-5-4 auf 0)
und lles mit Hilfe des löufer·
strlchs ob:
17 Zoll ""' 43,2 cm
38 Zoll - 96,5 cm
Abb. 7
1 m Stoff kostet DM 45,-.
Stelle C 1 Ober D 45 und lle1
mit Hiife des löuferstrlchs ob:
3,20 m Stoff kosten DM 144,2,40 m Stoff kosten DM 108,-
.„
Kursrelotlon 1 $ - DM 4,- .
Stelle C 10 Ober D '4-0·0 und
lies mit Hiife des löuferstrlchs
ab :
$ 2.61 - DM 10,44
$ 4.73 ... DM 18,92
Wenn man beim Tabellenbllden einzelne Werte nicht mehr einstellen und ablesen kann, well die Zunge zu weit heraunteht, behilft man sich wieder mit dem „Durchschieben der Zunge", d . h. man „hölt die Einstellung fest", Indem man
den löuferstrlch Ober C 1 stellt. Anschließend schiebt man die Zunge durch, bis C 10 an Stelle von C 1 steht.
(Siehe auch Tabellenblldung mit den Teilungen CF, DF, CIF auf Seite 101)
Rechnen ml~ der reziproken Tellung Cl
Sie Ist von 1-10 untertellt, entspricht also Im Tellungsblld den Teilungen C und D, verlöuft ober In entgegengesetzter
Richtung und Ist daher rot elngeförbt. Ihre Anwendung ergibt verschiedene Rechenmögllchkelten.
1. Sucht man zu einer gegebenen Zahl o den reziproken Wert 1 : o, stellt man diese auf C oder Cl ein und liest darOber auf Cl bzw. darunter auf C den reziproken Wert ob. Die Ablesung geschieht ohne Verstellung des Schiebers,
allein durch LOuferelnstellung bei Nullstellung des Stabes (C 1 genau Ober D 1).
Belriplele: 1 : 8 - 0,125; 1 : 2 - 0,5; 1 : 4 - 0,25; 1 : 3 - 0,333 .
._...
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2. Man kann mit den Skalen D und Cl auch multlpll1leren. Vlele Stabrechner wenden diese Methode gem an.
Belsplel: 0,66 • 20,25 - 13,37.
Man geht wie bei der Division vor, d. h. •teilt zuerat den löuferatrlch Ober 0,66 auf D, zieht dann 20,25 auf Cl
den löuferstrlch und kann nun das Produkt 13,37 auf D unter C 1 ableaen.
3. So einfach •lnd Produkte mit
mehreren Faktoren zu lösen:
Beispiel: 0,66 · 20,25 · 2,38 - 31,8.
c
Abb.8
la ·b·cl
Man multlpllzlert die beiden ereten Faktoren wie oben und hat mit C 1 Ober 13,37 (Zwlschenergebnla) gleich die Elnstellung fOr eine Multlpllkatlon mit dem nöchsten Faktor (nach der zuerst gelernten Methode auf S. 6 oben). Nu"
wird al10 der löuferstrlch Ober C 2,38 geschoben, Ergebnis 31 ,8 darunter auf D. letzt könnte man sofort wieder eine
Multlpllkatlon anschlleßen, Indem man den nöchsten Faktor auf Cl unter den Läuferstrlch achlebt und das Ergebnla
unter C 1 (bzw. C 10) auf D ablle1t. Al10 abwec:haelnd Multlpllkatlon mit Hiife von D und Cl (Methode 1. oben) und
anschlleßend mit Hilfe von C und D (erste Methode s. S. 6).
Uegen die Faktoren ungOnstlg, kann man den 3. Faktor auf C nicht elnstellen. Dann behilft man sich mit dem Durchschieben der Zunge.
4. ZU9CllllllHtnge1ebte Multiplikation und DM1lon
kann ebenfalls mit der Tellung Cl vorteilhaft gerechnet werden.
36,4
Beispiel: 3 2 . 4 6 - 2,47
Zuerst Division, also löuferetrlch Ober D 3-6-4, dann C 3-2 unter den löuferstrlch ziehen (Zwlsch~ner~ebnls 11,37 unter~
C 1). Mit C 1 Ober D 11,37 hat man bereits die erate Einstellung der nun folgenden Multlpllkatlon mit
, die mit b • C
„:6
Hilfe der Teilung Cl (1-) ausgeführt wird. Also schiebt man Jetzt den löuferstrlch Ober Cl 4,6 und flndet glelchfalls
c
unter dem löuferstrlch auf D das Ergebnis 2,47.
....
4,774
23,1
Ubung1bel1plele: 4,8
2,48
2,73 • 17,9 - 0,473
0163 • 1,24 - 6,11;
n,u·
Weitere Verwendungamögllchkelten findet die Cl-Skala bei den trigonometrischen und Exponentlal-Rechnungen.
9
.„
.„ ........... . - ,
~
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"'\
·.a.
''•."
Rechnen mit den Teilungen CF, DF, CIF 1. Tabellenbll„g
Da bei den Jt·Versetzten Tellungen CF und DF der Wert 1 etwa In der Mitte liegt, kann man auf Ihnen vortellhaft
beim Tabellenbllden welterrechnen und dadurch ein Durchschieben der Zunge beim Rechnen auf C und D ersparen.
Bel1plel: 75 engl. Pfund ergeben 34 kg. - Man stellt C 3-4 Ober D 7-5 und hat damit die Umrechnung von engl. Pfund
In kg. Allerdings kann man Ober SO kg hinaus (C 5) nicht mehr ablesen. Hier geht man auf die oberen Skalen CF...__ ___,.
und DF Ober und kann weiter mit Hiife des Uiuferstrlchs die gewOnschten Werte einstellen.
Kennt man die jeweilige Parltt.lt (z. B. 75 engl. Pfund - 34 kg) nicht, sondern etwa die Beziehung 1 lb - 0,-454 kg, ao
stellt man CF 1 unter DF -4-5-4 und hat dann auch die Umrechnung von lb1 In kg.
2. Multlpllkatlon
Ist beim Multiplizieren auf C und D der 2. Faktor nicht einstellbar, bzw. muß ein Durchschieben des Schiebers vorgenommen werden, kann man dies vermelden, Indem man den 2. Faktor auf CF einstellt und das Ergebnis auf DF abliest.
Bel1plel: 2,91 • -4 - 11,6"4. - Man schiebt C 1 Ober D 2-9-1 und stellt den Lt.luferstrlch Ober CF 4.
DarOber liest man auf DF das Ergebnis 11,64 ab.
Ubungsbelsplekt: 18,A • 7,4 ... 136,2; 42,25 • 3,7 ... 156,3; 1,937 • 6 - 11,62.
1. Multlpllkatlon und Division mit dem Wert 1t
Der Ubergang von den Skalen C und D auf die Skalen CF bzw. DF Ist direkt mit dem lt.lufer durchfOhrbar und ergibt eine Multlpllkatlon mit dem Faktor Jt.
Beispiel: 1,1841t - 3)2. - Man stellt bei Nullstellung des Schiebers (C 1 Ober D 1 und C 10 Ober D 10) den U!ufer1trlch Ober D 1-1-3--4 und liest auf DF das Ergebnis 3,72 glelchfalls unter dem Lauferstrlch ab.
Der umgekehrte Vorgang ergibt eine Division durch Jt.
Beispiel: 18•65 - 5,94. - Man stellt den Lt.luferstrlch Ober DF 1-8-6-5 und liest auf D das Ergebnis 5,94 ab.
; lt
Ubung1bel1plele:
F - a • b · 1t;
F - 5,25 • 2,22 · 1t - 36,6.
Fit.Ich• einer Elllpse:
Man stellt C 10 Ober D 5-2·5, schiebt den Lt.1ufer1trlch Ober C 2-2-2, braucht das Zwl1chenergebnl1 11,65 auf D nicht abzulesen, sondern lle1t 36,6 auf DF ab.
10
•
.H
••
.._..,.. ""
"->-
0t
r lt
26,2 · 352 · lt
= 161
180
Man beginnt mit der Division, stellt also C 1-8 und D 2-6-2 mit Hiife des löuferstrlchs gegenOber. Das Zwischenergebnis
0,1455 (unter C 1) braucht nicht abgelesen zu werden. Man multlpllzlert mit 352, Indem man den Lauferstrlch Ober
C ~2 stellt (Zwischenergebnis 51,2 auf D). Die Multlplllcatlon mit "' erreicht man wieder durch den Ubergang nach
oben und Ablesen unter dem Lauferstrlch auf DF. Ergebnis 161.
Die Teilung CIF arbeitet mit CF und DF genau so zusammen wie Cl mit den Skalen C und D.
Beispiele fOr die Multiplikation mit mehreren Faktoren:
2,23·16,7·1,175 • 24,2 - 1059. l&1ung: Cl-2,23 mit Hiife de1 Lauferstrlchs Ober D-16,7; UMerstrlch Ober CF-1,175;
CIF 24,2 unter den Lauferstrlch, Ergebnis 1059 auf DF Ober CF 1 able1en.
0,53 • 0,73 • 39,1 • 0,732 - 11,07. L&sung: Cl-0,53 mit Hiife de1 Löuferstrlchs Ober 0-0,73; löuferstrlch Ober CF-39,1;
CIF 0,732 unter den löuferstrlch; Ergebnis 11,07 auf DF Ober CF 1 ablesen.
Lange eines Krel1bogens:
t -
s= -
-isi)
Quadrat und Quadratwurzel
werden mit Hiife der Wurzelskalen ermittelt und spöter auf Seite 19 erklört.
Kubus und Kubikwurzel
FOr die Kubenskala K gilt die Beziehung : lg x• - 3 tg x, d h. 11• besitzt 3 Dekaden Im Bereich der Grundskalendekade.
Das Kubieren erfolgt durch Ubergang von der C- oder D-Skala auf die K-Skala unter Verwendung des löuferstrlchs
bei Null1tellung de1 Stabes (C 1 Ober D 1).
Ubungsbel1plele: 1,541 - 3,65; 2,3'f.I - 12,8; 4,21 - 74,1; 6,141' - 232; 8,82' = 686; 0,256' - 0,0168; 8,98' - 724.
Das Kublkwurzelzlehen erfolgt durch Ubergang von der K-Skala auf die Skalen C (bei Nullstellung des Stabes) und D,
unter Verwendung des Löuferstrlchs, wobei zu beachten l1t, daß elnstelll;. Zahlen links, zwelstelllge In der Mitte und
drelstelllge rechts eingestellt werden m011en.
3_
3
3
-
3
3 _
3
-
Ubungsbellplele: }"4,66 - 1,67; }"29,5 - 3,(19; }"192 - 5)7; }"6,8 - 1,895; y'0,645 - 0,864; }"1953 11
„
-.
1.
~„,
12,5.
._
1
1.
.II'
)P
„.
..... „
•,
.
.
,
1
•
•
-·
0,991
·-··· Iv1·. I
0,6
}"1-(0,1 x)• abgelesen werden oder umgekehrt bei Ein-
0
Abb.9
]W =
.
.,._
}'1-(0,1 x)• dar; sie arbeitet mit D (- x) zusammen. Die Tellung Ist gegenlöuflg,
Wird auf D der Wert x elngestellt, kann dazu auf P der Wert y stellung von y auf D der Wert x - y1-(0,1 y}' auf P.
0,99S
1
x·
Redlnen mit der pythagoreischen Teilung P
Diese Tellung stellt die Funktion y daher rot geförbt.
.....
Belsplel: y - }'1--0,81 - 0,6; x - }"1~61 - 0,8
Stellt man also x - 0,8 auf D ein, findet man
auf P den Wert y - 0,6 und umgekehrt.
Belsplel : sln a - 0,154; cos a - 0,991
Stellt man auf D den Sinus ein, erhalt man auf
P den Kosinus und umgekehrt.
] COI cp
ifSJ
Beispiel:
Berechne Wlrkstrom und Bllndstrom eines Stromkreises, der 35 A bei einem Wert
cos q> - 0,8 aufnimmt.
Jw - J · cos q> -
35 · 0,8 - 28 (A);
Abb. 10
„_._
)8 -
J · sln q> - 35 · 0,6 - 21 (A).
Man stellt C 35 Uber D 10 und llest bei D 8 (fUr cos q> - 0,8) auf C den Wert 28 fOr l w ab; unter D 8 findet man gleichzeitig auf P den Wert 0,6 (also sln q> - 0,6). Schiebt man nun den Lauter auf D 6, so kann man darOber auf C den
Wert 21 fOr J ablesen.
Belsplel: Schelnlelstung 530 kVA, Wlrklelstung -428 kW. Gesucht Bllndlelstung und co1 q>.
1.
Man stellt C 530 Ober D 10, schiebt den Lauter Ober C -428 und lle1t darunter auf D den Wert 0,807 fOr cos q> ab, sucht
dle1en Wert mit dem Lauter auf P und findet darOber auf C die gesuchte Bllndlelstung 313 BkW.
12
a „
„
Rechnen
, mit den trigonometrischen Teilungen S, 1, und T2
Die trigonometrischen Skalen Ti, T1 und S sind dezimal unterteilt und ergeben in Verbindung mit den Grundskalen C
und D die WinkelfunkUonen bzw. bei umgekehrter Ablesung die Winkel.
Bel Benutzung der Ska len T1, T1 und S In Verbindung mit den Skalen D, P un :f Cl als trigonometrische Tafeln Ist folgendes zu beachten: Die S-Skala mit schwanen Ziffern g elesen, ergibt In Verbindung mit der D-Skala (schwan) eine
Sinustafel, ebenso In roten Ziffern gelesen mit der Skala P (rot). Bel kle inen Winkeln Ist das erste, bei großen Winkeln das zweite Verfahren genauer.
·
•
"'
· .._,
Die S-Skala mit roten Ziffern gelesen, ergibt mit D (scllwan) eine Koslnustafel, ebenso In schwanen Ziffern gelesen mit j • Q 1
P (rot). Bel großen Winkeln Ist das e rste, bei klei nen Winkeln das zweite Verfahren gena uer.
lln
Die beiden T-Skalen mit schwanen Ziffern gelesen, ergebe.n mit. der D-Skala (uhwan) eine Tangenstafel bis 84,28', 1
1
ebenso In roten Ziffern mit Cl (rot).
~ ' <
•
'
COI Q
Die beiden T-Skalen mit roten Ziffern gelesen, ergeben mit der D-Skala (schwarz) .alne Kotangenstafel, ebenso In
schwanen Ziffern mit Cl (rot).
·
·j tan al
sln 13' - 0,225
sln 76° = 0,97
cos 110 - 0,982
cos 78' - 0,208
tan 321 - 0,625
tan 571 - 1,54
cot 18' - 3,08
cot 75' - 0,268
I
I
I
I
I
I
I
I
S 13' (schwarz) S 760 (rot)
S 110 (schwarz) S 78' (rot)
Ti 32• (schwarz) T1 571 (schwarz) T118' (rot)
Ti 75• (rot)
-
D 0,225
P 0,97
P 0,982
D 0,208
D 0,625
D 1,54
D 3,08
D 0,268
(schwarz)
(rot)
(rot)
(schwarz)
(schwarz)
(schwarz)
(schwarz)
(schwarz)
lcot al
Diese Einstellungen erfolgen bei Nullstellung
des Stabes mit Hiife des L6uferstrlchs.
oder Ti 18' (schwarz) oder T1 75' (schwarz) -
Cl 3,08 (rot)
Cl 0,268 (rot)
Wiii man vom Sinus eines Winkels zu seinem Kosinus Obergehen (oder umgekehrt), so braucht man den Winkel nicht
abzulesen. Auf D und P stehen diese Wertpaare unterei nander. Auch beim Ubergang vom Tangens zum Kotangens spart
man das Ablesen des Winkels, denn diese Wertpaare stehen auf C und Cl untereinander. Nur wenn man vom Sinus
oder Kosinus zum Tangens oder Kotangens Obergehen wlll, muß man dazwischen den Winkel ablesen.
Da man beim Ablesen der Funktionen diese entweder auf D oder Cl erholten kann, kann man In vielen F6llen Multlpllkotlonen und Divisionen sofort anschließen. Nur wenn die Ablesung auf P erfolgt, muß man den Wert auf die
Hauptteilungen Obertragen.
13
·.
.~
„.. ~-~~-~
Weiter• Beispiele für die Anwendung der trigonometrischen und pythagoreischen Teilungen Im rechhrllllßgea DreleclE;
1
1
1. Beispiel: Gegeben: a ... 2; b - 3;
Gesucht: c und a.
- tan a; a · - - 1ln a;
Formel: a ·
c
b
C 1 Uber D 2, Löufer auf Cl 3 und auf tan-Skala 33,7 tor a ablesen.
Lauter auf 33,7 der sln-Skala verschieben und auf Cl den Wert 3,6 für c ablesen.
2. Beispiel: Gegeben: a ... 8; b - 20;
Gesucht: c und a.
C 10 Uber D 8, Löufer auf Cl 20 und auf tan-Slcala 21,8' für a ablesen.
Löufer auf 21,8 der sln-Skala stellen und auf Cl 21,55 fOr c ablesen.
D
;•ll'.ll!ltli'i:..;
20; b - 8;
Gesucht: c und a.
C 1 Uber D 20, Löufer auf Cl 8 und auf tan-Skala (T1) 68,2' für a ablesen.
Läufer auf 68,2 der sln-Skala stellen und auf Cl den Wert 21,55 für c ablesen.
3. Beispiel: Gegeben: a -
4. Beispiel: Gegeben: c = 5; a - 36,871;
Gesucht: a und b.
Formel: a -
b
Abb.11
c • sln a; b - c · cos a.
C 5 Uber D 10,
der •In-Skala und auf C den Wert 3 fOr a ablesen.
Glelchzeltlg auf P-Skala 0,8 tor cos a ablesen und LOufer auf D 8 bringen.
Auf C-Skala den Wert 4 fUr b ablesen.
Abb. 12
Löufer auf 36,871
5. Beispiel: Gegeben: c -
21,54; b -
20; Gesucht: a und a.
b
C 215" Uber D 10, Löufer auf C 2 (fOr b - 20) stellen und auf cos-Skala fUr a den Wert 21,S- gleichzeitig aber auf P-Skala
0,372 ablesen. Schieber um eine Slcalenlönge nach links durchschieben. Läufer auf D 0,372 bringen und auf C fOr a den
Wert 8 ablesen.
FUr das 1chlefwlnkellge Dreieck gilt die Beziehung
Beispiel: Gegeben: a - 38,3; a - 521 ; ~ -
slna a.
= si: fJ = si~ T
59'; y - 69';
Abb.13
Gesucht: b und c.
b
C 383 Uber S 521 stellen. Uber S 59° und S 69' kann man auf C die Ergebnisse 41,7 und 45,4 cm ablesen.
14
• >
. ...
... ,
:~
„
.....:,
Dle.:rellung fUr klelne Wlnkel ST und die Marke e auf C, D und W,
w:
Mon kann die Funktionswerte kleiner Winkel audl mit
FOr die F•ktlo111werte kleiner Winkel von 0,55 bis 6' Ist
auf Stabkörper unten die ST-Skala ( ~ arc: 0,01 x) mit
der Beziehung: sln a - tan a RI arc: a
Hilfe der Marke e - l ; O - 0,017"5 gemöß der Beziehung
arc a - 0,017"5 • a -
Die Teilung ST arbeitet mit Teilung 0 (bzw. C) zusammen.
e · a ermitteln.
Bel Relhenberedlnungen Einstellung von C 1 Ober e auf
D und unter dem Wlnkelwert auf C Ablesung des Ergeb·
nlsses auf O.•
Alle nadlfolgenden Redlnungen In dieser Spalte werden
ledlglldl mit Hiife des Lauferstrfdl1 durdlgefOhrt.
Ubung1bel1plele:
1ln 2,5' tan 2,5' i:::s arc 2,5' - O,o.436; sln 0,-4' - tan 0,-4' arc 0,-4' - 0,00698; sln 0,0052' - tan 0,0052' - arc: 0,00521 - 0,0000908.
Einstellung der Wlnkelwerte auf der arc:-Tellung ST,
Beispiel: 1ln 3' ,,,,, tan 3' = arc: 3' - 0,0524.
Ablesung der Funktionswerte auf Tellung C (bei NullMan stellt den Sdlleberanfang C 1 Ober D 3 und kaM
1tellung) oder auf D (mit Hiife des Lauferstrfdl1).
unter e auf C das Ergebnis 0,0524 auf D ablesen.•
=
=
FOr die Berechnung der Funktionen IC01lnu1 und Kotangens von Winkeln Ober 14,S•
Beispiel: co1 88' - 1ln 2• ,,,,, arc 2• - 0,~9
Belsplel : cos 88' - sln 2' = orc 2• ,:::s e · 2 - 0,0349
cot 86,5' - tan 3,5' - orc 3,5' - 0,0612
cot 86,59 - tan 3,51 - arc 3,5' - e · 3,5 - 0,0612
Man stellt den LOufer1trldl Ober den Wlnkelwert auf der
Dies Ist eine elnfadle Multlpllkatlon, also Sdlteberanfang
Teilung ST und liest auf C (bei Nullstellung) oder auf D
C 1 Ober e auf D, dann löuferstrldl Ober zweiten Faktor
unter dem löufer1trldl das Ergebnl1 ab.
, auf C und darunter auf D das Ergebnis ablesen.•
- -
-
FOr die Umrechnung ven Bogenmal III Wlnblgrade
Uoong1bel1plele: 6,28 - 360'; 1,11 - 63,5'; 0,().4 - 2,29';
Etn1tellung des Bogenmaßes auf C- oder O.Tellung,
Ablesung des Winkelwertes auf der arc-Tellung ST.
(mlt Hiife des löufer1trldl1).
-
-
-
0,007 - 0,402'; DM - 36,7•; 0,32 - 11,55'.
C 1 oder C 10 Ober Marke e auf D, dann Lauferstrldl
'
1 Ober Bogenmaß auf D. Ablesen der wtnkelgrode darunter out c.•
• Gr08ert Gtnoulgttll t rtltlt man beim Arbeiten mit der ~-Morte out w1 und w1•.
15
'-"
..... -
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•1
....
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. . =-
·~·
Das Rechnen mit komplexen Zahlen
i lt
i lt
Zwei komplexe Größen I' - 7,5 e • und YJ - 3,4eu sollen addiert werden. Man bringt sie gemaß der
Eulerglelchung R • e hp - R (co1 cp + 1 1ln cp) auf die Form (a + 1b).
FOr das Stabrechnen schreibt man diese Größen vorteilhaft In Vektorenschreibweise I' - 7,5 / 22,S- und - l) - 3,4/18',
und kann nun rechnen :
1. C 75 Ober D 10 1tellen, Lauter auf S 22,5' bringen und auf C fOr b 1 den Wert 2,87 ablesen. Gleichzeitig auf der P-Skala
cos cp - 0,92-4 ablesen. Lauter auf D 924 verschieben und auf C den Wert 6,93 fOr a 1 able1en.
(a1 + 1b1) - 6,93 + 12,87.
2. C 34 Ober D 1 stellen, Lauter auf S 18' 1chleben und auf C den Wert 1,05 fOr b 1 able1en. Gleichzeitig auf P den Wort
cos cp - 0,951 ablesen. Lauter auf D 951 (rote Ubertellung) verschieben und auf C den Wert 3,24 fOr aa ableHn.
(a1 + 1 bt) - 3,2-4 + 11,0S
a, + a1 - 6,93 + 3,24 - 11,17 und 1 (b1 + ba) - 1 (2,87 + 1,05) - 1 S,92.
Also Ist das Ergebnis: 3 - (10,17 + 13,92)
Soll das Ergebnl1 In Vektorenschreibweise erscheinen, so rechnet man :
C 10 Ober D 392, Lauter auf Cl 1017 und darOber auf T1 (Tangen11kala) den Wert 21,07' fOr cp ablesen. Anschließend
Lauter auf 21,07 der Slnusakala S und darOber auf Cl den Wert 10,92 fOr 5 ablesen.
'.
Somit Ist 3 - (10,1 7 + 13,92) - 10,92 / 21@0
t.> „ .
und mit 0. cp - ;,
0,368), erhalten wir 3 "" 10,92 / 21,07° =- 10,92 e l 0,368
Beispiel fOr die Anwendung der TrSkala: 3 - 192-1256.
Man stellt C 10 Ober D 256 und bringt den Löufer auf Cl 192. Auf l t erhält man den Wi nkelwert 53,1'. Nun stellt man
C 1 Ober D 256, schiebt den Lauter Ober S 53,1' und kann darOber auf Cl das Ergebnis 320 ablesen.
?; - 320/-53,1 1
Da sich die Zahl Im IV. Quadranten befindet, muß der Winkelwert negativ sein.
...
ci -
Die Multlplltatlon komplexer Zahlen erfolgt gemaß der Beziehung
-
I'• YJ=X·eiip.y • eilP=XY·ei C1P+1P>=XY/1P+1P
Beisp iel: (1 + 2i) · (3 + li) = 2.24. e 1 1.11 . 3,lb 10.32 = 2,24/63.5'-3,lb/ 18.5'= 7,~182'- 7,~1.t."3
.• '
•
16
Das Rechnen mit den Wurzelskalen W W1' W2 W2'
Diese Teilungen bringen den Vorteil, daß auf dem gebröuchllchen und handllchen Normalmodell mit erhöhter Genau·
lgkelt gerechnet werden kann. Sie finden vor allem fOr die Hauptrechnungen Ihre Anwendung.
Das Arbeiten mit den Wurzelskalen weicht zum Tell von dem bisher gewohnten Schema etwas ab, Ist aber nach einer
Grundregel und mit kurzer Ubung zu erlernen. Es Ist darauf zu achten, daß die Wurzelskalen In der 50 cnt-Tehun91lln9e
unterteilt sind.
Multlpllkatlon
-_
1. Bel Eln1tellun9 der schwanen lndez·1 (bzw. lndex·10) wird daa Produkt an der dem 2. F«*tor anllegenclH ltabHrperakala abgelesen.
II. Bel Elnatellung mit rot... lndezstrlch wird das Produkt an der dem 2. Faktor gegenUberllegenden Stabklrpenkala
abgel.....
Bel1plele zu 1: 1,635 • 5,365 - 8,77.
Lösung: Schwarze lndex-1 (W1'·1) Ober W.-1,635; Lauter·
1trld't Ober Wi'-5,365 und Ergebnis 8,77 auf W1 ablesen.
WW2,:
2
:1
:
' ·
1
1
1,635
809·1,414 - 11«. Lösung : Sd'twarze lndex-10 (W1'-10)
unter Wr809; ll:luferstrlch Ober W1'-1,414 und Ergebnis
11« auf W1 ablesen.
~:
....
809
:::1
1 •
:::
10
1,414
1
1
'·
11«
Ubungsbelsplele: 236 • 4,06 - 958; 2,34 • 0,409 - 0,957 Abb. 14
7,77 · 66,3 ... 515; 5,165 · 0,2265 = 1,1699
Bel1plele zu II: 1,804 • 7,73 ... 13,95. Lösung: Roten Index50,45 • 4,64 .,. 234,1. Lösung: Roten lndexstrld't unter Wr
atrld't Ober Wi-1,ao.4; Uiuferstrld't Ober W1'·7,73 und gleld't50,45; Uiuferstrld't Ober W1'-4,64 und gleld\fall1 unter dem
falls unter dem Uiuferstrld't auf der gegenOberllegenden
Laufer1trld't auf der gegenOberltegenden Skala W1 das
Skala W 1 das Ergebnl~,95 ablesen.
Ergebnis_ _
234,1_ a_b_l•_•_•_n_.- - -- W2
W2'
w,·
1,5675
w,
50,4.5
314.5
Roter Indexstrich
2.31
-·-·
Ubungsbelsplele: 14,78 · 0,945 - 13,97; 29,4·123,6 - 3634 Abb. 15
w,.___ _ _üw~.r+----r--J..._-----.
w~· Roter lndtxslrich 4 M
w,.-----'-'-----...--...------J
234,1
0,395 . 0,562 = 0,222; 3,885 . 19,425 "" 75,47
„_r.r----~-~
. _.., - ~T
... .. „
Division
1. lel Einstellung der Zahlen aof Gftelnanclertlegenden Skalen wird der Quodent bei der schwarzen lndex·1 (bsw. ·11)
abgel„en.
II. lel Einstellung der Zahlen auf gegenDberllegenden Skalen wird der Quodent am roten lnde:1:1trlch abgelnen.
42,3: 71,7 - 0,589. L61ung: Mit Hilfe des Laufer1trlch1
Wr-42,3 und Wi'-71,7 gegenOberstellen und Ober schwarzer lndex-10 das Ergebnis 0,589 auf W1 ablesen.
Bel1plel• zu 1: 3,0S: 2,135 - 1,+'3. L61ung: Mit Hiif• des
Lauferstrfch1 Wr3,08 und Wi'-2,135 gegenOb•r1tellen und
unter schwarzer lndex-1 das Ergebnis 1,+ß auf W1 ablesen.
::
::·.j
':~:
1
1
1 443
:::1
3,08
Ubung1belsplele: 2,975: 18,65 -
Abb.16
0,1595; 2,075: 1"'8,25 - 0,014; 48,65: 79,05 - 0,6155; 5,55 : 0,692 - 8,02
Beispiele zu II: 3,745 : 1,5675 - 2,388. L6sung : löuferstrlch
Ober w,-3,745; Wi'-1,5675 unter Ulufer1trlch ziehen; Ergebnis 2,388 unter rotem lndex1trlch auf W1 ablesen.
w,·
-- -4--
w,
7;l3
::2
0.589
1
10
23,77 : 65,67 .... 0,362. Lösung: Löuferstrlch Ober Wi-23,77;
W1'-65,67 unter löuferstrlch ziehen; Ergebnis 0,362 Ober
rotem lndexstrlch auf W1 ablesen.
---~
Roter lndoulrid!
w,·.___ _,,,..,-.-- - --.-----+--'-----.
w,
13,95
1,804
Abb. 17
Ubungsbelspiele: 689,5: 2,505 = 275,2; 432,5: 1,ß.4.5 ... 23-4,4; 1,965: «,45 ... 0,0«2; 8,37: 1,1575 18
7,23
I' '
......
„ ~r41:"
:.r..„~•.-i<
...
.
Tabellenblldung
Elnatellen der ParlH!t oder des Einheitswerts und dann Ablesung nach den Grundregeln auf den vorigen Selten:
Belaplel: Parltöt 82 yards - 75 Meter. Mit dem Löuferstrlch stellt man Wr-82 und W1'·75 gegenOber. Nun lcann gleich·
falls mit dem Löuferstrlch abgelesen werden: 42 yards - 38,4 m; 136 yards ... 12-4,4 m.
Dieses Belsplel entspricht dem Normalfall nach der Grundregel 1.
Die folgenden Belsplele kann man nur nach der Grundregel II mit Hiife des roten Indexstriches l~sen.
Beispiele: Elnhelt•wert 1 engt. Zoll - i,M cm (Parttat
26" - 66 cm). Dem Wert 2,5-4 auf W1 stellt
man den roten lndexstrlch auf W1' gegenUb er
und kann nun auf W1' und W!' d ie Zollwerte
und auf W1 und W1 di e cm ablesen.
20" - 50,8 cm; 40 cm - 15)5"
:: 1
~.!
w,I
·~
·s ;s
Kursrelatlon 1 US-$ - 4,00 DM. Man stellt dem Wert 4,00
auf W1 den roten lndexstrlch gegenOber und kann nun
auf den Skal-en W1 und W1 die DM und auf W1' und W:'
die US-$ ablesen :
1,S S - 6,00 DM; 1,85 S - 7,AO DM; 2,26 S - 9,04 DM;
5 DM "" 1,25 $; 10 DM - 2,50 $.
so.a
W2
1
1
6.-
7,4
Rofet lndustrich
20
1
W1
154
1
Abb.18
Quadrat und Quadratwurzel
Da1 Quadrleren erfolgt durch Ubergang von den W-Skalen auf die auf der Sehlebermitte liegende Skala C mit Hilfe
de1 Löuferstrlchs.
Beispiele: 1,W - 2,76. Man stellt den Löuferstrlch auf W1-1,66 und liest darOber auf C das Quadrat 2,76 ab.
5,251 - 27,6. Man stellt den Löuferstrlch auf Wr 5,25 und llest darunter auf C das Quadrat 27,6 ab.
Ubungsbelsplele: 67;51 - 4530; 10,71 - 114,5; 2;51 - 5,29; 1,345' - 1,81; 7,471 - 55,8
Beim Quadratwunelslehen stellt man auf C auf der Sehlebermitte mit dem L6uferstrlch ein und liest auf den Skalen
W1' oder W1' ebenfalls unter dem L6uferstrlch die Quadratwurzel ab. Man muß darauf achten, daß die Wurzeln der
Radikanden von 1·10 auf der Skala W1 und die der Radikanden von 111-100 auf der Skala W1 stehen.
19
''
---
OL.
-· ......
Belsplele: }"4,56 - 2,135; löuferatrlch auf C-4,56, das Ergebnis 2,135 steht darunter auf Skala W1' bzw. W 1•
}"56 - 7,483; Lauferstrlch auf C-56, das Ergebnis steht darUber auf Skala Wa' bzw. Wa.
Um die Wurzeln aus den Radikanden unter 1 (z. B. 0,76) oder Ober 100 (z. B. 2375) leichter errechnen zu können, sondert
man geeignete Potenzen vom Radikanden ab.
Belsplele: }'0,76 - }"76: 10lf - }"76 : 10 - 8,719 : 10 - 0,8719; }"275 - }"2,75 ·100 - }12,75 · 10 - 1,658 · 10 - 16,58
}"2375 - }"23,75-100 - }"23°)5 · 10 - 4,873 · 10 - 48,73; y0,00378 - y37,8 : 10000 - }137,8: 100 - 0,0615
Nach dem Qvo*'eren oder Wursehlehen •lt Hiife der Wunelakalen Ist 1tet1 ein Welterrechnen .agllclL
Belsplele: 0,5735 · i~;:
52,751. 0,0243
- 4 931
- •
6
.34' • 25•45
3,252'
- 0,7575; Hauptstrich auf D 26,25; C 15,05 darOber; Stab umwenden, Hauptstrich Ober
-
W1' 0,5735, darüber auf W1 das Ergebnis 0,7575 ablesen.
2)82; Hauptstrich auf W1 52)5, darunter W1' 4,93; Stob umwenden, Hauptstrich auf C 0,0243,
darunter auf D Ergebnis 2,782 ablesen.
15,25; Hauptstrich Ober D 6,34, Stab wenden und W1 3,252 unter Hauptstrich, Stob wenden,
unter C 25,"5 steht auf D das Ergebnis 15,25.
Rechnen mit der Mantl11entellung L
1 lg a 1
Sie arbeitet mit den W-Skalen zusammen. Dabei Ist auf die Nullstellung des Stabes zu achten :
1. Bel Elnatellung des Numerus auf den unteren Wurzelskalen w,•, W1 wird fUr das Ablesen der Mont111e die llnlll wo•
Trennatrlch stehende Kennziffer mit den dazugehörigen nach rechts folgenden Teilstrichen benutzt.
Belsplel: lg 1,35 - 0,1303. Lauferstrlch auf W1-1,35, darüber findet man links vom Trennstrich die Ziffer .1,
dazu 3 Dekaden und die Felnelnstellung 03. Also lg 1,35 - 0,1303.
Ubungsbelapl ele: lg 2,655 - 0,424; lg 0,237 - 0,374-1; lg 1938 - 3,2873; lg 0,0119 - 0,0755-2
2. Bel Einstellung des Numerus auf den oberen Wurselakalen W1', W1 wird fUr das Ablesen der Mantl11e die rechte
wom Trennstrich stehende Kennziffer mit den zugehörigen nach recht• folgenden Teilstrichen benutzt.
Belaplel : lg 57,3 - 1,758. lttuferstrlch auf Wr57,3, darunter findet man rechts vom Trennstrich die Ziffer .7, dazu 5 De·
kaden und die Felnelnatellung 8. Also lg 57,3 - 1,758.
Ubung1bel1plele: lg 9,06 - 0,957; lg 0,0636 - 0,8035-2; lg «5 - 2,648"; lg 66,5 - 1,823.
Wenn die Mantl11e gegeben Ist, ergibt der umgekehrte Vorgang den gesuchten Numerus.
: .„
20
"
1
Die Exponentlahellungen Ll1 l"2 lls fUr positive Exponenten
llo1 ll.m llos fUr negative Exponenten
. „,
~
~
Der Novo-Duplex-Rechenatab besitzt auf der StabrOckselte zwei dreistufige Skalengruppen fOr die Exponentlalfunktlonen, die auf die Grundskala C bezogen sind. Die Skalen fOr positive Exponenten (schwarz) reichen von 1,0095 bis
60000 und die fOr negative Exponenten (rot) von 0,00002 bis 0,9905. Die e·x.skalen sind Reztprokskalen zu den ex-Skalen.
Zu beachten Ist hierbei, daß die an den Exponentlalakalen angeschriebenen Zahlenwerte Im Stellenwert unvertinderbar
sind; es bedeutet somit belaplelswelae der Wert 1,04 ateta 1,04 und nicht etwa auch 10,'4 oder 104 usw.
Die Exponentlalakalen ergeben beim Ubergang von einer Inneren zur nächsten äußeren Skala Zehnerpotenzen, z. B.:
0,95&1 = 0,631; 0,631 11 - 0,01; 0,92~· - 0,'45"; 0,'45411
1,04715!0 ... 1,586; 1 ,586~· - 101; 1,0811 = 2,16; 2,161'
[8
3,7 . 1Cl-4 - 0,00037
2,2 • 1()1 = 2200
Der Ubergong zur übernächsten Skala ergibt Hunderterpotenzen, z. B.:
0,955"' -
0,01; 1,04715"' ~ 100; 0,92.+100 c: 0,00037; 1,08!01
= 2200
Beim Ubergang von außen nach Innen erhält man die entsp rechenden Wurzeln, z. B.:
10
10
V0,25 10
114 -
100
10
}115000 -
10
}11,5 . 1~
10
0,98623; Yo,00007
100
10
V1 . 10-5 - 0,384; }I0,38" - 0,9087; }'O,G0007 - 0,9087;
100_
1,1"88; 111,1"88 c: 1,01396; }14 -
10
10
0,8705; V0,8705 ... 0,98623; 110,25 10
1,01396;
10
100 -
-Va
= 2,616; 112,616 ... 1,109; 1115000 = 1,109
Beachte: Bel 100 der L4·Skala steht auf Llti der Wert
Bel 1,25 der LlrSkala steht auf LL.1 der Wert
100 = 0,01
1
= 0,8
1,25
lJ
da e·x -
1
ex
tat.
·~
--- ---•
21
•••
1
•
r
'-.
Die natUrllchen Logarithmen
Oie natOrllchen Logarithmen findet man, wenn man von den LL-Skalen auf die mittlere Sehleberskala C Obergeht. FOr l
die Stellenzahlbereiche der Grundskala gilt slnngem66 das oben Gesagte.
Beispiel:
In 25 -
3,22; In 1"5 ... 4,97; In 1,3 -
•n a 1
0,262; In 0,04 ... -3,22; In 0,66 ~ --0,416; In 0,98 - -O,D202.
Potenzen von e
• -
„ 1
Die Potenzen von e (Basis dea natOrllchen Logarithmus e - 2,71828 . . .) erh61t man, Indem der Exponent mittels des
L6ufers auf der C-Skala (bei Nullstellung des Stabes) eingestellt wird. Die e-Potenz wird dann auf der LL-Skala abgelesen. Hierbei gilt fOr die C-Skala der Bereich 1-10 bei